Isomorfismo

[Settevoltesette]

immagina gli insiemi come degli oggetti e gli spazzi vettoriali come altri oggetti.

un automorfismo tra insiemi è un isomorfismo tra un insieme in se stesso, un isomorfismo più in generale ha bisogno di 2 insiemi con stessa cardinalità.
un automorfismo tra spazi vettoriali è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale e se stesso, per l'isomorfismo discorso analogo.

[killing_buddha]

Come può esistere uno spazio vettoriale diverso da k^n?

Lo spazio delle soluzioni dell'equazione differenziale $\ddot y = -y$ è uno spazio vettoriale, sottospazio dello spazio vettoriale delle funzioni $C^2(RR)$. Il fatto che sia isomorfo a $RR^n$ non significa che esso sia della forma $RR^n$. Se non altro perché i suoi elementi sono funzioni, non liste di numeri. Trovane una base.

Il campo \(\mathbb Q(\sqrt{7})\) è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ su $QQ$; esso è isomorfo a $QQ^2$, ma è allo stesso tempo un sottoinsieme del campo dei numeri reali $RR$; e lo stesso accade ad $RR$, come sottocampo di $CC=RR(\sqrt{-1})$.

Ti è già stato segnalato lo spazio vettoriale degli omomorfismi $F : V\to W$ tra due spazi vettoriali; tale spazio è isomorfo a $k^{nm}$, se $n,m$ sono le dimensioni di $V,W$ rispettivamente; ma i suoi elementi sono funzionilineari.

Ti basta, per smettere di vivere nello scheletro della categoria degli spazi vettoriali?

[lollocau]

Molto semplicemente, per quanto concerne le applicazioni lineari, che presumo sia il contesto del tuo interesse:
un' applicazione lineare è un ISOMORFISMO se è un'applicazione biunivoca tra spazi vettoriali con la stessa dimensione, ciò non implica l'uguaglianza tra le due strutture, ma il poterle usare equivalentemente. Per farti un esempio, considera uno spazio vettoriale $ V^2 $ ed una sua base $ B={(1,0),(0,1)} $, per semplicità quella canonica. Orbene potrai esprimere ogni vettore di $ V^2 $ come combinazione lineare dei vettori di base: $ x = x_1 i + x_2 j $ , poiché però esiste un isomorfismo tra spazi vettoriali reali n-dimensionali e lo spazio $ R^2 $ (insieme delle coppie reali ordinate) , per esprimerne un qualsiasi vettore è sufficiente considerare il vettore di $ R^2 $ che si ottiene considerando le sue componenti come una coppia ordinata, tale corrispondenza è ovviamente biunivoca, infatti a ciascun vettore di $ V^2 $ corrisponde uno ed un solo vettore di $ R^2 $ e viceversa.
Un' applicazione lineare che sia un AUTOMORFISMO è invece un endomorfismo (applicazione lineare definita da uno spazio $ V $ in se stesso, quindi in questo caso gli spazi sono gli stessi) ma anche un isomorfismo, pertanto è un'applicazione lineare biunivoca. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi:)

[Vincenzo99]

l'applicazione $L:K^4->M_(2,2)(K)$ definita come

$L(x_1,x_2,x_3,x_4):=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$

è un isomorfismo. Ti sembra un automorfismo?

PS: io ho studiato dal sernesi, quindi tranquillo che se lo usi bene è un santo Graal

Capito, grazie!

[killing_buddha]

un isomorfismo è un applicazione biunivoca tra strutture con la stessa cardinalità

[anto_zoolander]

@killing
tu mi farai morire dalle risate

in ogni caso l'esistenza di un'applicazione biunivoca tra due insiemi è definita proprio come l'avere la stessa cardinalità, è un po' ridondante...

[lollocau]

un isomorfismo è un applicazione biunivoca tra strutture con la stessa cardinalità

Come nope?
Sia A un'applicazione lineare definita come $ A : V rarr W $ :
affinché A sia suriettiva è necessario che $ Im(A) = W $ , cioè che tutti gli elementi del codominio siano immagine di elementi del dominio.
affinché A sia iniettiva è necessario che $ dim(Ker(A))=0 $ , infatti se così non fosse esisterebbero più vettori aventi la stessa immagine (ovvero il vettore nullo).

Ciò implica al di fuori di ogni ragionevole dubbio che un'applicazione lineare biunivoca sia tra insiemi aventi la stessa dimensione:
per il teorema del rango infatti $ dim(Ker(A))=dim(V)-dim(Im(A)) rarr 0=N-dim(Im(A)) rarr dim(Im(A))=N $ poiché $ Im(A)=W $ allora $ dim(W)=N=dim(V) $ come volevasi dimostrare hanno la stessa dimensione.
(ho corretto la risposta, NON LA STESSA CARDINALITA' è ovviamente una stupidaggine, MA LA STESSA DIMENSIONE)

[Settevoltesette]

Un isomorfismo mantiene le strutture. Se no si chiamerebbe applicazione biunivoca e basta.
Puoi trovare una operazione biunivoca tra 2 spazi vettoriali che ti demolisce la struttura, quella non é un isomorfismo di spazi vettoriali.

[killing_buddha]

"Come volevasi dimostrare" non hai compreso la differenza tra dimensione e cardinalità.

Anche sorvolando su questo, comunque, la risposta è no: ci sono isomorfismi che non sono "funzioni biiettive che rispettano la struttura", vuoi perché non sono funzioni, vuoi perché non sono biiettive.

Un esempio: prendi uno spazio topologico $X$ e definisci il [url0http://planetmath.org/fundamentalgroupoid]gruppoide fondamentale[/url] di $X$ prendendo come oggetti i punti di $X$ e come frecce $g : x\to y$ le classi di omotopia di cammini $\gamma : [0,1] \to X$ tali che $\gamma(0)=x, \gamma(1)=y$. Ognuna di queste frecce è un isomorfismo, ma (quasi) nessuna di queste frecce è una funzione biiettiva. (In effetti, un teorema molto profondo di Freyd dice che queste classi di omotopia non si possono pensare come funzioni).

[anto_zoolander]

La dimensione è il numero di elementi di una qualsiasi base...
Non ha molto a che fare la cardinalità dello spazio.

$RR$ ha cardinalità più che numerabile, ma ha dimensione $1$