In entrambi i casi ($x->+-oo$) si ha una f.i. $oo-oo$ con risultato $1$.
Per cercare di eliminare la forma indeterminata ho pensato di razionalizzare applicando: $sqrt(A)+-B(sqrt(A)+-B)/(sqrt(A)+-B)$
Con $x->+oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->+oo) sqrt(x^2-1)-x+1$
Svolgimento:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Metto un $-$in evidenza a $-x+1$ per poi razionalizzare:
=$lim_(x->+oo)((sqrt(x^2-1)-(x-1))(sqrt(x^2-1)+(x-1)))/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(x^2-1+(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)^2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(x^2-1-(x^2+1-2x))/(sqrt(x^2-1)+(x+1))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(x(sqrt(1-1/x^2)+1-1/x))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(2x) =1$
=$lim_(x->+oo)((sqrt(x^2-1)-(x-1))(sqrt(x^2-1)+(x-1)))/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(x^2-1+(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)^2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(x^2-1-(x^2+1-2x))/(sqrt(x^2-1)+(x+1))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(x(sqrt(1-1/x^2)+1-1/x))$
=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(2x) =1$
Con $x->-oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->-oo) sqrt(x^2-1)+x+1$
Procedendo allo stesso modo di prima non ottengo il risultato corretto. Posto comunque il mio svolgimento:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Metto un $+$in evidenza a $x+1$ per poi razionalizzare:
=$lim_(x->-oo) ((sqrt(x^2-1)+(x+1))(sqrt(x^2-1)-(x+1)))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x+1)sqrt(x^2-1)+(x+1)sqrt(x^2-1)-(x+1)^2)/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x^2+1+2x))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(sqrt(x^2-1)-x-1)$
=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(x(sqrt(1-1/x^2)-1-1/x))$
=$(+oo)/(-oo*0)$ ...
=$lim_(x->-oo) ((sqrt(x^2-1)+(x+1))(sqrt(x^2-1)-(x+1)))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x+1)sqrt(x^2-1)+(x+1)sqrt(x^2-1)-(x+1)^2)/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x^2+1+2x))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$
=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(sqrt(x^2-1)-x-1)$
=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(x(sqrt(1-1/x^2)-1-1/x))$
=$(+oo)/(-oo*0)$ ...