Isomorfismo

[Magma]

[…] $ dim(W)=N=dim(V) $ come volevasi dimostrare hanno la stessa cardinalità.

Perché usi dimensione e cardinalità come sinonimi? Ti consiglio di fare attenzione alle definizioni dei termini per evitare di usarli a sproposito.

Ma secondo il teorema un'applicazione lineare può essere un isomorfismo solo se é un endomorfismo

Quale teorema? (P.S. posso chiedere cosa studi?).

[lollocau]

[…] $ dim(W)=N=dim(V) $ come volevasi dimostrare hanno la stessa cardinalità.

Perché usi dimensione e cardinalità come sinonimi? Ti consiglio di fare attenzione alle definizioni dei termini per evitare di usarli a sproposito.

"Come volevasi dimostrare" non hai compreso la differenza tra dimensione e cardinalità.

Anche sorvolando su questo, comunque, la risposta è no: ci sono isomorfismi che non sono "funzioni biiettive che rispettano la struttura", vuoi perché non sono funzioni, vuoi perché non sono biiettive.

Un esempio: prendi uno spazio topologico $ X $ e definisci il [url0http://planetmath.org/fundamentalgroupoid]gruppoide fondamentale[/url] di $ X $ prendendo come oggetti i punti di $ X $ e come frecce $ g : x\to y $ le classi di omotopia di cammini $ \gamma : [0,1] \to X $ tali che $ \gamma(0)=x, \gamma(1)=y $. Ognuna di queste frecce è un isomorfismo, ma (quasi) nessuna di queste frecce è una funzione biiettiva. (In effetti, un teorema molto profondo di Freyd dice che queste classi di omotopia non si possono pensare come funzioni).

La dimensione è il numero di elementi di una qualsiasi base...
Non ha molto a che fare la cardinalità dello spazio.

$ RR $ ha cardinalità più che numerabile, ma ha dimensione $ 1 $

Perdonatemi avete decisamente ragione, so bene la differenza tra dimensione e cardinalità, non ho idea del perché l'abbia utilizzato come sinonimo, inoltre non volevo risultare presuntuoso in alcun modo quindi mi scuso ulteriormente.

Detto ciò, killing_buddha ne sai sicuramente più di me, sono solo uno studente di fisica del secondo anno, quindi lungi da me voler avere una polemica su cose di cui non ho una conoscenza così approfondita, però in tutti i libri di geometria e algebra lineare da me letti un'applicazione lineare che sia un isomorfismo è sempre definita come biiettiva, quindi non avendo le competenze per comprendere a fondo l'esempio che mi hai fatto, ti chiedo, almeno nel contesto delle applicazioni lineari questo asserto è vero?

[killing_buddha]

Sì, certo, per le applicazioni lineari è vero; ma tu l'hai scritto in una maniera che non parlava di applicazioni lineari. Non è che siccome uno ha visto solo quelli, l'unica struttura che esiste sono gli spazi vettoriali!

[lollocau]

Sì, certo, per le applicazioni lineari è vero; ma tu l'hai scritto in una maniera che non parlava di applicazioni lineari. Non è che siccome uno ha visto solo quelli, l'unica struttura che esiste sono gli spazi vettoriali!

Si sono d'accordo, non ho visto solo quelle, anche se solo quelle nello specifico, ho risposto più che altro con un po' di superficialità, dettata però dal fatto di aver ritenuto la domanda appartenente al contesto delle sole applicazioni lineari ergo ho ristretto a quello la risposta senza specificarlo, sarò più preciso la prossima, promesso ahahah.
Comunque ti ringrazio per le delucidazioni, posso chiederti cosa fai nella vita? Se hai tempo puoi vedere la mia domanda sul teorema spettrale ?

[killing_buddha]

cosa fai nella vita

Scrivo libri sotto pseudonimo, e faccio arrabbiare i moderatori di questo forum prendendomi gioco della misura puntiforme di alcune loro idee.

[lollocau]

cosa fai nella vita

Scrivo libri sotto pseudonimo, e faccio arrabbiare i moderatori di questo forum prendendomi gioco della misura puntiforme di alcune loro idee.

Ahahahahahah bene:')

[killing_buddha]

Se ho capito cosa intendevi, ti ho risposto, comunque.

[anto_zoolander]

Killing è una persona categorica

[axpgn]

Ed è quello il suo problema ...