Interpretazione geometrica della mappa differenziale

[zariski]

Inquadro il contesto: definizione di prima e seconda forma fondamentale.
Ho due varieta' differenziabili $M$ e $N$ e ho una applicazione differenziabile $f:M \to N$, siano inoltre $\phi:M \to \phi(M) \sub RR^2$ e $\psi:N \to \psi(N) \sub RR^2$ le due carte sulle due varieta' (per semplicita' lascietemi supporre che le due varieta' abbiano due atlanti formati da una sola carta ognuno).
Per ogni punto $p$ di $M$ posso definire la l'applicazione tra spazi vettoriali $df_p: T_pM \to T_f(p)N$ come l'applicazione lineare rappresentata dalla Jacobiana $J(\phi^{-1} \circ f \circ \psi)$ nelle basi ${\partial_x \phi^{-1}, \partial_y \phi^{-1}}$ e ${\partial_x \psi^{-1}, \partial_y \psi^{-1}}$.

Ora mi chiedo: ma come si interpreta questa applicazione differenziale? Ho visto che c'e' una corispondenza biunivoca tra i vettori dello spazio tangente ad una varieta' in un punto e le direzioni delle curve sulla varieta' passanti per quel punto. La definizione che ho di spazio tangente e' quella con le derivazioni.
E' giusto dire che l'applicazione differenziale in punto $p$ di $M$ e' in effetti una specie di approssimazione lineare della funzione $f$? Cioe' $f(p)=f(p)+df_p(boh)$ piu un qualche o piccolo? (al posto di "boh" cosa dovrei mettere?)
Se quello che ho detto ha un qualche senso porro' altre domande (aspetto di ragionarci ancora un po' prima di farle) riguardo la prima e la seconda forma fondamentale, anche li' non riesco a "vedere geometricamente" cosa sono (soprattutto la seconda).

[killing_buddha]

Il differenziale in un punto $p\in M$ di una funzione differenziabile $f : M\to N$ tra varietà (per te, superfici) è una vera e propria applicazione lineare $Tf : T_pM\to T_{fp}N$; sulla varietà non c'è una struttura lineare, quindi non puoi scrivere che \(\frac{f(p)-f(p_0)}{p-p_0}\) va approssimando $df_p$ se $p\to p_0$. Quello che puoi fare è dire che hai modo di definire (mediante le derivate parziali di $f$) una applicazione lineare piano tangente per piano tangente, la cui azione dipende dal punto in maniera continua (o differenziabile, a seconda della regolarità di $f$).

E' utile capire cosa intendo incarnando tutto con un esempio: considera la sfera parametrizzata dalla carta delle coordinate sferiche. Considera la mappa di varietà $f : S^2\to \mathbb R$ (sto guardando $\mathbb R$ come varietà nel modo ovvio) che manda $(\theta,\varphi)$ in $f(\theta,\varphi) = \sin^2 \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi$. Il suo jacobiano è un covettore che raccoglie le derivate parziali di $f$ rispetto ad $\theta,\varphi$:
\[\begin{pmatrix}
\frac{1}{4}\sin\theta(3\cos 2 \theta +1)\sin 2 \varphi & \sin^2\theta\cos\theta\cos 2\varphi
\end{pmatrix}\]
In determinati punti della sfera, cioè per determinati valori di $(r,\theta,\varphi)$, questo piano è un vero e proprio piano geometrico: per esempio, che cosa succede nel punto determinato da $\theta=\pi/6, \varphi=\pi/3$? Metti dentro a quella matrice questi valori, calcola qualche seno e coseno, ed ecco l'equazione di un piano; questo è esattamente il vettore delle coordinate pluckeriane del piano tangente alla sfera nel punto che corrisponde a $(\pi/6, \pi/3)$. (per conoscenza, viene \(\Pi : \frac{5\sqrt{3}}{32}X-\frac{\sqrt{3}}{16}Y=0\)). Fallo in altri punti, otterrai altri piani tangenti negli altri punti (ovviamente alla condizione che tu stia dentro la carta che hai fissato all'inizio).

Il differenziale di $f$ nel punto determinato da $(\pi/6, \pi/3)$ è ora una applicazione lineare dal piano $\Pi$ a $RR$: puoi chiederti chi è il suo nucleo, puoi chiederti se essa abbia o non abbia proprietà buone (per esempio: quando $df_p$ è un endomorfismo, perché le varietà hanno la stessa dimensione, è ragionevole chiedersi se è diagonalizzabile!)

Facciamo quest'ultima cosa con un'altra mappa differenziabile: prendi ancora la carta sferica su $S^2$, ancora il punto $(\pi/6, \pi/3)$, ma stavolta prendiamo proprio la carta come mappa differenziabile: prendiamo cioè lo jacobiano della mappa $g$ di carta nel punto $(\pi/6, \pi/3)$.

La mappa di carta manda $(\theta,\varphi)$ in \(\begin{pmatrix}
\sin \theta \cos \varphi \\
\sin \theta \sin \varphi \\
\cos \theta
\end{pmatrix}\); la matrice delle derivate parziali di questa funzione è una matrice 2x3 che ha le derivate parziali di $g$ come righe. Viene
\[\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\
-\sin \theta \sin \varphi &\cos \varphi \sin \theta &0\\
\end{pmatrix}\]
Penso tu sia capace di mettere dentro i numeri e vedere cosa viene fuori:
\[
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\sqrt{3}}{4}&\frac{1}{4}&0
\end{pmatrix}\]
Ora: qual è il nucleo di questa matrice? Qual è il suo rango? Su un minore di rango massimo essa è diagonalizzabile? Se sì, qual è il significato geometrico dei suoi autovalori?

[zariski]

Innanzitutto ti ringrazio per la rapidissima risposta.

Il differenziale in un punto $ p\in M $ di una funzione differenziabile $ f : M\to N $ tra varietà (per te, superfici) è una vera e propria applicazione lineare $ Tf : T_pM\to T_{fp}N $; sulla varietà non c'è una struttura lineare, quindi non puoi scrivere che \( \frac{f(p)-f(p_0)}{p-p_0} \) va approssimando $ df_p $ se $ p\to p_0 $. Quello che puoi fare è dire che hai modo di definire (mediante le derivate parziali di $ f $) una applicazione lineare piano tangente per piano tangente, la cui azione dipende dal punto in maniera continua (o differenziabile, a seconda della regolarità di $ f $).

Ok, questo mi e' chiaro adesso. Comunque il corso che ho seguito era diviso in due parti: una piu' generale e una piu' applicata al caso della superfici in $RR^3$. La definizione che ho dato prima e' quella "applicata", ma volendo dovrei sapere (anche se quando ho scritto il primo post l'avevo rimossa dal cervello) anche quella "generale" di applicazione che manda derivazioni in derivazioni.
Comunque se possibile preferirei rimanere sul "pratico".

E' utile capire cosa intendo incarnando tutto con un esempio: considera la sfera parametrizzata dalla carta delle coordinate sferiche. Considera la mappa di varietà $ f : S^2\to \mathbb R $ (sto guardando $ \mathbb R $ come varietà nel modo ovvio) che manda $ (\theta,\varphi) $ in $ f(\theta,\varphi) = \sin^2 \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi $. Il suo jacobiano è un covettore che raccoglie le derivate parziali di $ f $ rispetto ad $ \theta,\varphi $:
\[ \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\sin\theta(3\cos 2 \theta +1)\sin 2 \varphi & \sin^2\theta\cos\theta\cos 2\varphi \end{pmatrix} \]

Mmm, gia' qua mi stai facendo venire dei dubbi, per come hai scritto la $f$ questa prende punti di un aperto di $RR^2$ e li manda in $RR$ (con carta banale data dall'identita'), quindi non e' vero quando scrivi $f: S^2 \to RR$, $f$ dovrebbe prendere valori in $RR^3$ se cosi' fosse. Quindi supporro' che con $f$ intendi l'applicazione da $S^2$ a $RR$ di cui calcoleremo la mappa differenziale e che quel Jacobiano sia il Jacobiano della composizione con anche le due carte sulle due varieta' (di cui una come gia' detto e' l'identita'). Scusa se ho fatto il pignolo, non lo faccio per voler correggere (figurati ) ma per essere sicuro di avere capito bene.
Piccolo dubbio: qui per covettore intendi semplicemente vettore riga? O c'e' qualche altro significato piu' profondo? Tipo spazi duali etc..

In determinati punti della sfera, cioè per determinati valori di $ (r,\theta,\varphi) $, questo piano è un vero e proprio piano geometrico: per esempio, che cosa succede nel punto determinato da $ \theta=\pi/6, \varphi=\pi/3 $? Metti dentro a quella matrice questi valori, calcola qualche seno e coseno, ed ecco l'equazione di un piano; questo è esattamente il vettore delle coordinate pluckeriane del piano tangente alla sfera nel punto che corrisponde a $ (\pi/6, \pi/3) $. (per conoscenza, viene \( \Pi : \frac{5\sqrt{3}}{32}X-\frac{\sqrt{3}}{16}Y=0 \)). Fallo in altri punti, otterrai altri piani tangenti negli altri punti (ovviamente alla condizione che tu stia dentro la carta che hai fissato all'inizio).

Ti chiedo per piacere di evitare le coordinate pluckeriane se possibile, non mi sono mai piaciute. So che non e' un buon motivo ma in questo momento non credo sia utile mettermi a ristudiarle (non mi ricordo manco cosa sono). Poi se sono indispensabili per capire secondo te dimmelo che me le riguardo.
Comunque, non dovrebbe essere un vero piano per ogni punto della carta? Cioe', in realta' non capisco bene cosa intendi, ti dico cosa credo di aver capito intanto: per ogni punto della carta il nucleo di quel Jacobiano dovrebbe darmi la giacitura del piano tangente. Poi se voglio avere il "vero piano geometrico" (forse ora ho capito, intendevi questo?) mi basta traslare nel punto della sfera.

Il differenziale di $ f $ nel punto determinato da $ (\pi/6, \pi/3) $ è ora una applicazione lineare dal piano $ \Pi $ a $ RR $: puoi chiederti chi è il suo nucleo, puoi chiederti se essa abbia o non abbia proprietà buone (per esempio: quando $ df_p $ è un endomorfismo, perché le varietà hanno la stessa dimensione, è ragionevole chiedersi se è diagonalizzabile!)

Ecco questo mi interessa, cosa e' il nucleo di quella applicazione geometricamente? E' un sottospazio del piano tangente, quindi o e' un punto, o e' una retta o e' tutto il piano.
Cosa significa geometricamente che l'endomorfismo e' diagonalizzabile in questo caso?

Facciamo quest'ultima cosa con un'altra mappa differenziabile: prendi ancora la carta sferica su $ S^2 $, ancora il punto $ (\pi/6, \pi/3) $, ma stavolta prendiamo proprio la carta come mappa differenziabile: prendiamo cioè lo jacobiano della mappa $ g $ di carta nel punto $ (\pi/6, \pi/3) $.

La mappa di carta manda $ (\theta,\varphi) $ in \( \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{pmatrix} \); la matrice delle derivate parziali di questa funzione è una matrice 2x3 che ha le derivate parziali di $ g $ come righe. Viene
\[ \begin{pmatrix} \cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \varphi &\cos \varphi \sin \theta &0\\ \end{pmatrix} \]
Penso tu sia capace di mettere dentro i numeri e vedere cosa viene fuori:
\[ \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{4}&\frac{1}{4}&0 \end{pmatrix} \]
Ora: qual è il nucleo di questa matrice? Qual è il suo rango? Su un minore di rango massimo essa è diagonalizzabile? Se sì, qual è il significato geometrico dei suoi autovalori?

A me qua non torna qualcosa, la matrice che hai scritto e' la Jacobiana di $g$ ma non e' la matrice rappresentativa della mappa differenziale di $g$, tale matrice dovrebbe avere dimensione $2 \times 2$ poiche' $g$ va da un aperto di $RR^2$ (varieta' di dimensione $2$) a $S^2$ (varieta' di dimensione $2$) e gli spazi tangenti hanno la stessa dimensione della varieta'.
Probabilmente ho capito male io ma cosi' qualcosa non mi torna.
Riguardo l'interpretazione del rango/diagonalizzabilita/autovalori sto brancolando nel buio, un suggerimento?

Grazie mille ancora

[Emar]

Un'interpretazione di differenziale è la seguente:
Considera un vettore tangente $X_p \in T_pM$. Ora scegli una curva $\gamma: (-1,1) \to M$ tale che $\gamma(0) = p$ e $\dot{\gamma}(0) = X_p$, ovvero la curva ha $X_p$ come vettore tangente in $0$.
Considera ora $f \circ gamma: (-1,1) \to N$. Allora $df_p (X_p)$ è proprio il vettore tangente a $f \circ \gamma$ in $0$. In formule:
\[df_p(X_p) = \frac{d}{dt}\big|_{t=0} (f \circ \gamma) = \dot{( f \circ \gamma)}(0)\]



Questo ti permette di visualizzare la mappa differenziale come un'applicazione che mappa vettori in vettori. Non so se ti può aiutare, ma questa è la visualizzazione più geometrica a mio avviso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per dimostrare la formula è sufficiente "srotolare" le definizioni:
\[ \frac{d}{dt}\big|_{t=0} (f \circ \gamma) = d(f \circ \gamma)_0(\frac{d}{dt}\big|_{t=0}) = df_p(d\gamma_0(\frac{d}{dt}\big|_{t=0})) = df_p(\dot{\gamma}(0)) = df_p(X_p)
\]

[zariski]

Altro che se mi aiuta, e' proprio quello che volevo sapere! Tra l'altro ho trovato praticamente la stessa cosa che dici sul mio quaderno oggi
A mia discolpa quello che ho trovato io era un caso leggermente piu' particolare...
Inoltre, visto che gli spazi tangenti sono spazi di derivazioni generati dalle "derivazioni parziali" (nel senso proprio delle derivate parziali componendo con la carta), il Jacobiano di $F$ (nella figura che hai mandato) e' proprio la matrice che rappresenta $dF$ in queste due basi, dico giusto?

Per semplicita' divido in punti le questioni che rimangono aperte (questo topic sta diventando abbastanza incasinato):

1- Sia $F: M \to N$ una applicazione liscia tra due varieta', e' giusto dire che $dF$ manda derivazioni $X \in T_pM$ in derivazioni $dF(X) \in T_{F(p)}N$ tali che $dF(X)([g_{F(p)}])=X(F_{p}^{\star}([g_{F(p)}]))$ per ogni germe $[g_F(p)]$ nella spiga dei germi in $F(p)$?
Con $F_{p}^{\star}$ intendo il pull-back che manda germi $[g_{F(p)}]$ della spiga su $M$ in germi $[(g \circ F)_p]$ della spiga su $N$.
Questa domanda mi e' venuta spontanea dopo aver letto cosa e' il pull-back tra due spighe, e appunto mi sono chiesto perche' non e' stato usato direttamente nella definizione di mappa differenziale (la definizione che ho di mappa differenziale e' diversa da quella che ho appena dato, ma appunto secondo me equivalente).

2- Tornando alla risposta di emar; che succede se le varieta' non hanno la stessa dimensione?

3- Nel caso abbiano la stessa dimensione come interpreto la diagonalizzabilta' della mappa differenziale?

4- Per quanto mi e' stato detto la seconda forma fondamentale (al varare di $p$ nella varieta') e' la forma quadratica associata a $<S_p(\mathbf{v}), \mathbf{w}>$ dove $S_p = -dN_p$ e' l'operatore di Weingarten cioe' la mappa differenziale della mappa di Gauss $N_p: M \to S^2$ che manda i punti della varieta' nel versore normale alla varieta' in quel punto.
Tutto questo lo si puo' vedere in qualche cavolo di maniera? So gia' molto (tramite osservazioni a posteriori) sul significato degli autovettori e autovalori della matrice rappresentativa di quella forma (tra l'altro ortodiagonalizzabile per il teorema spettrale).


Edit: riguardo (1) la risposta e' positiva e me la sono dato da solo leggendo uno dei libri che abbiamo usato durante il corso¹ dove la mappa differenziale viene definita molto elegantemente come $dF(X)=X \circ F_{p}^{\star} \forall X \in T_{p}M$.
Ignoro perche' la definizione che avevo io sugli appunti non usasse la nozione du pill-back pur avendola definita poche pagine prima.

---

Note

1. Pagina 83 di Geometria Differenziale di Abate/Tovena ↑

[Emar]

Inoltre, visto che gli spazi tangenti sono spazi di derivazioni generati dalle "derivazioni parziali" (nel senso proprio delle derivate parziali componendo con la carta), il Jacobiano di $F$ (nella figura che hai mandato) e' proprio la matrice che rappresenta $dF$ in queste due basi, dico giusto?

Certo!

1- Sia $F: M \to N$ una applicazione liscia tra due varieta', e' giusto dire che $dF$ manda derivazioni $X \in T_pM$ in derivazioni $dF(X) \in T_{F(p)}N$ tali che $dF(X)([g_{F(p)}])=X(F_{p}^{\star}([g_{F(p)}]))$ per ogni germe $[g_F(p)]$ nella spiga dei germi in $F(p)$?
Con $F_{p}^{\star}$ intendo il pull-back che manda germi $[g_{F(p)}]$ della spiga su $M$ in germi $[(g \circ F)_p]$ della spiga su $N$.

Come hai osservato è proprio così. È la definizione che mi sono memorizzato anche io dato che è facile da ricordare "porti dentro la $F$ e alzi l'asterisco". In effetti tanti non definiscono esplicitamente così.

2- Tornando alla risposta di emar; che succede se le varieta' non hanno la stessa dimensione?

Niente?! Quanto detto è generale, non dipende dalle dimensioni. Cosa te lo fa pensare?

Per quanto riguarda i punti 3 e 4 non so che dirti in poche parole (anche perché in realtà non ne so molto). Riguardo a 4 ti direi di pensare, in linea con l'idea originale di Gauss, al differenziale in termini di variazioni infinitesime. Ovvero uno spostamento infinitesimo su $M$ (i.e. vettore tangente) corrisponde ad uno spostamento infinitesimo di vettore normale, ergo un vettore tangente alla sfera di Gauss. Queste variazioni di vettore normale intuitivamente misurano la curvatura in quel punto. La diagonalizzazione della matrice associata mette in luce le curvature principali e il determinante la curvatura Gaussiana.

[zariski]

Niente?! Quanto detto è generale, non dipende dalle dimensioni. Cosa te lo fa pensare?

Mmm, onestamente non me lo ricordo. Credo di non aver scritto quello che intendevo (quel messaggio era stato molto un cancella/riscrivi), la domanda forse doveva essere riguardo l'interpretazione del rango credo nel caso le due varieta' non avessere la stessa dimensione.
Poi la (3) doveva essere il caso specifico in cui la matrice e' quadrata.

Ovvero uno spostamento infinitesimo su $M$ (i.e. vettore tangente) corrisponde ad uno spostamento infinitesimo di vettore normale, ergo un vettore tangente alla sfera di Gauss. Queste variazioni di vettore normale intuitivamente misurano la curvatura in quel punto.

Gia' questo e' un ottimo punto di partenza
Ci meditero' sopra, grazie mille!