Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda luciagua » 18/07/2018, 06:47

Salve a tutti,
ho difficoltà ad interprerare questo esercizio di algebra:

Sia V lo spazio delle funzioni reali di variabile reale e definite a: x€R->x€R, b: x€R->ln(x)€R, c: x€R->x^2€R. Mostrare:
1) Il sistema S={a,b} è indipendente
2) Detto W=<a,b> trovare la sua dimensione
3) Detto Z=<c> stabilire se è un sottospazio di W

Ringrazio in anticipo chi mi saprà dare qualche riferimento per poter risolvere questi quesiti.

Grazie 1000
Saluti
luciagua
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda killing_buddha » 18/07/2018, 07:23

Sia $V$ uno spazio vettoriale, $a,b,c$ 3 suoi vettori. Stessa consegna.

Ora che hai rimosso le informazioni superflue forse lo sai fare.
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda luciagua » 19/07/2018, 07:57

Sinceramente riguardo alla dipendenza/indipendenza del sistema e quindi delle due funzioni avevo pensato di determinare il wronskiano e verificare se si annulla o no (come si fa con le soluzioni di un'equazione differenziale).

Per il resto ho poche idee perchè non riesco a capire come posso fare a considerare quelle funzioni come dei vettori.

Se puoi essere più preciso te ne sarei grata.

Grazie 1000
Saluti
luciagua
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda anto_zoolander » 19/07/2018, 08:12

Un sottoinsieme $S={f_1,...,f_n}$ si dice linearmente indipendente se

$forall lambda_1,...,lambda_n inRR,sum_(k=1)^(n)lambda_kf_k=0=>lambda_1=0$

Se le funzioni $f(x)=x$ e $g(x)=log(x)$ fossero linearmente dipendenti allora si avrebbe per qualche $lambda inRR, log(x)=lambdax,forallx inRR$. Ti sembra sia vero?

PS: vettore non vuol dire immaginarsi le freccette
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda cooper » 19/07/2018, 13:55

anto_zoolander ha scritto:$∀λ1,...,λn∈R , ∑_(k=1)^n λ_k f_k=0⇒λ_1=0$

ti è sfuggito un 1 a $lambda$ :wink:
cooper
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda anto_zoolander » 19/07/2018, 16:00

È incredibile come riesca a dimenticare sempre qualcosa.
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda luciagua » 20/07/2018, 01:20

Grazie è chiaro.
Quindi a questo punto la dimensione dello spazio W=<a,b> è pari a 2 essendo linearmente indipendenti le due funzioni.
Riguado poi alle terza domanda come posso fare a dimostrare che Z=<c> è un sottospazio di W???
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda Cantor99 » 20/07/2018, 07:34

Secondo me non è un sottospazio, perché altrimenti dovrebbero esistere $h,k \in \RR$ tali che
$x^2=hx+klog(x)$
Che non mi pare non sia possibile
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda anto_zoolander » 20/07/2018, 11:24

Cantor non è stato chiesto che generasse tutto $V$
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Re: Esercizio su spazi vettoriali e funzioni

Messaggioda Cantor99 » 20/07/2018, 19:41

Anto_zoolander che intendi?
Se $<<c>> <= <<a,b>>$, deve in particolare essere $c \in <<a,b>>$, o no?
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