Sia, per ogni $x \in \mathbb{R}^n$, $\mathcal{I}_{x}^{'}$ la base costituita tutte le palle con centro $x$. Consideriamo la famiglia $\mathcal{I}_{x}^{''} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ dei cubi $C_{x}(\delta) = \Pi_{i = 1}^{n}L_i$ di centro $x = (x_1,\cdots, x_n)$ e semilato $\delta$, dove $L_i = [x_i-\delta, x_i+\delta]$, per $i = 1,\cdots, n$. Ciò che voglio provare è che effettivamente i nostri cubi formano, per ogni punto dello spazio, una base per la usuale topologia (dove $U$ è un intorno di $x \in \mathbb{R}^n$ se contiene una palla di centro $x$).
Allora: come sappiamo, data una famiglia $I =\mathcal{I}_{x}^{\mbox{**}}$ di sottoinsiemi di uno spazio $E$, e una base $\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$, per verificare che $I$ sia effettivamente un sistema fondamentale di intorni di $x \in E$ e generi la stessa topologia della della base, dobbiamo accertarci che le due seguenti condizioni reggano: 1) $\forall V \in I \exists U \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}} : U \subset V$, e cioè che la famiglia sia effettivamente costituita da intorni, e 2) il viceversa, che ci garantisce finalmente che $I$ è una base rispetto alla stessa topologia. Considerando ora i soprainsiemi degli elementi rispettivamente della prima e della seconda famiglia, questi coincidono; abbiamo cioè per ogni $x \in E$ la stessa topologia.
La prima condizione, allora, nel mio caso è verificata: per ogni punto di $\mathbb{R}^n$, considerata la palla $B_{\rho}(x)$, essa dovrebbe essere contenuta nel cubo che ha per semilato $\rho$; infatti, se $d(y,x)\leq \rho$, per $y = (y_1,\cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n$, abbiamo in definitiva: $$\sqrt{ \sum_{i = 1}^{n}(y_i - x_i)^{2} } \leq \rho \implies |y_i - x_i| \leq \rho$$ per ogni $i = 0,\cdots, n$ (Ho spesso usato questo fatto, ma come si dimostra quell'implicazione?
). Rimane da verificare che è soddisfatta anche la seconda, ossia che ogni palla contiene un cubo di centro $x$. Ecco, qui mi sono bloccato, anche se mi sembra di intuire che è un'enorme banalità. Inoltre, può avere senso quanto ho scritto fin qui?EDIT: ho corretto alcuni errori di battitura qua e là, ad esempio nella somma qui sopra.
