Teorema Spettrale in campo complesso nel caso degenere

[lollocau]

Inizio con un doveroso ringraziamento per aver creato la pagina più utile del mio percorso universitario, e proseguo dicendovi che sono nuovo nel forum, ergo avrò probabilmente infranto un mucchio di regole proponendo questa domanda, mi scuso in anticipo.

Veniamo al nocciolo,
i miei dubbi sorgono nel dimostrare la validità del teorema spettrale in campo complesso, nel caso degenere (senza perdere di generalità si considera un autovalore di molteplicità $ m>1 $, e gli altri di molteplicità unitaria):

Il professore (corso di metodi matematici della fisica, fisica):
Sia $ V^n $ uno spazio vettoriale su campo complesso, $ A $ un operatore normale, e $ lambda_i $ un autovalore degenere per $ A $ di molteplicità algebrica $ m $.
In virtù della normalità di A si può dimostrare che la dimensione dell'autospazio $ AUT(lambda_i) $ relativo appunto all'autovalore $ lambda_i $ è massima, ovvero $ dim (AUT(lambda_i))=m $ .
Dimostrazione
Consideriamo l'equazione agli autovalori, $ A|u_i> =lambda_i|u_i> $, poiché $ A $ è normale $ [A,A^+]=0 $ allora $ A^+|u_i> =(lambda_i)^*|u_i> $ (non so perché si veda un puntino e non l'asterisco, comunque è il complesso coniugato). In virtù dell'equazione secolare, e del teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio caratteristico $ det(A-lambdaI) $ ammette quantomeno una radice, pertanto esistono un autovalore $ lambda_i $ ed un autovettore $ |u_i> $ ad esso relativo. Ciò ovviamente implica che $ 1<=dim(AUT(lambda_i))<=m $ .
L'autovettore $ |u_i> $ genera il sottospazio unidimensionale $ L(|u_i>) $, sottospazio di $ AUT(lambda_i) $, ed anche di $ V^n $.
Orbene, consideriamo lo spazio $ L(|u_i>)_(_|_) $ dei vettori ortogonali a $ |u_i> $ ; è qui che tutto diventa poco chiaro, il professore infatti definisce questo spazio come sottospazio di $ AUT(lambda_i) $ e asserisce che poiché i due spazi ( $ L(|u_i>) $ e $ L(|u_i>)_(_|_) $ ) sono in somma diretta allora $ dim(L(|u_i>)_(_|_))=m-1 $. Questo non ha alcun senso, poiché presuppone che $ dim(AUT(lambda_i))=m $ che è l'asserto da dimostrare.
In seguito la dimostrazione non presenta altri problemi: si sceglie un vettore $ |u_j> in L(|u_i>)_(_|_) $, esso è tale che $ <u_i|u_j> =0 $ per definizione.
Orbene:
$ <u_i|A|u_j> = (<u_j|A^+|u_i>)^* $ per definizione di aggiunto;
$ (<u_j|A^+|u_i>)^* = ((lambda_i)^* <u_j|u_i>)^* $ poiché A è normale;
$ ((lambda_i)^* <u_j|u_i>)^* = lambda_i <u_i|u_j> $ operando la coniugazione complessa;
$ lambda_i <u_i|u_j> = 0 $ poiché $ |u_j> in L(|u_i>)_(_|_) $ .

Da ciò si comprende come $ |u_j> $ sia autovettore relativo all'autovalore $ lambda_i $ e pertanto $ |u_j> in AUT(lambda_i) $ ergo $ 2<=dim(AUT(lambda_i))<=m $ . Iterando la procedura si giunge fino a trovare m autovettori ortogonali appartenenti a $ AUT(lambda_i) $ ergo l'asserto è dimostrato.

Per risolvere il dubbio in questione ho supposto $ L(|u_i>)_ _|_ = {|x> in V^n : <x|u_i> = 0} $ (cioè che $ L(|u_i>)_ _|_ $ sia lo spazio dei vettori DI V^n ortogonali al vettore $ |u_i> $ . Mediante tale correzione risulta ovvio come i due spazi $ L(|u_i>) $ e $ L(|u_i>)_ _|_ $ siano in somma diretta e pertanto $ dim(L(|u_i>)_ _|_ = n-1 $. Proseguendo nella dimostrazione come sopra indicato però pervengo ad un assurdo ancora più grande: posso iterare la procedura trovando n-1 vettori ortogonali al vettore $ |u_i> $ i quali, per il ragionamento di sopra sono autovettori relativi all'autovalore $ lambda_i $ ; questo implicherebbe $ dim(AUT(lambda_i))=n>m $ il che è ASSURDO, poiché $ lambda_i $ ha molteplicità pari a m.

Non so come uscirne, vi ringrazio in anticipo per le vostre risposte.

[killing_buddha]

Facciamo ordine. Quello che vuoi dimostrare è (qualcosa di meno forte del fatto che) che un operatore normale si diagonalizza mediante un operatore unitario (questo sarebbe il vero teorema spettrale).
A te basta vedere che dato un autovalore \(\lambda\) di \(T : V \to V\), che supponi essere normale, il suo autospazio \(V_\lambda\) ha dimensione massima possibile, cioè il massimo \(m\) tale che \((X-\lambda)\) divide il polinomio caratteristico \(p_T(X)\) di \(T\).

Dimostriamo questo fatto: la decomposizione di Schur di \(T\) la scrive come prodotto \(U^\ast \Lambda U\), dove \(U\) è una matrice unitaria (cioè vale \(U^{-1} = U^\ast\)) e \(\Lambda\) è una matrice triangolare superiore. A questo punto siccome \(T\) è normale lo è pure \(\Lambda\), ciò che implica che \(\Lambda\) deve essere diagonale (una matrice normale, e triangolare superiore, è diagonale).

[lollocau]

Senti ma, utilizzando i presupposti fissati sopra non è possibile giungere alla medesima conclusione?