Limite con limite notevole e... o forse no

[peppe_89]

Salve a tutti,
stavo cercando di risolvere questo limite che mi risulta particolarmente ostico

$ lim_{n \to \infty} ((n+1)^(n+1)-e*n^(n+1))/(n^n) $

Spezzando la frazione, sembra che il primo pezzo tenda a en + e mentre il secondo a en, dunque sottraendo rimane e

So che sbaglio, perché valuto il limite notevole solo del primo pezzo, e non posso valutare solo i pezzi che piacciono a me, ma non riesco a trovare il metodo corretto.

GiIuseppe

[pilloeffe]

Ciao peppe_89,

Trascurando gli $o$ si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^(n+1)-e*n^(n+1))/(n^n) = \lim_{n \to +\infty} ((n +1)(n+1)^n - e n n^n)/(n^n) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (n +1)(1+1/n)^n - e n = \lim_{n \to +\infty} n[(1 +1/n)(1+1/n)^n - e] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{(1+1/n)^{n + 1} - e}{1/n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{e + e/(2n) - e}{1/n} = e/2 $

[peppe_89]

Ero arrivato fino alla fine, mi perdo al penultimo passaggio.
Come fai si ha quel termine
e + e/(2n)?

[pilloeffe]

Il modo più semplice mi pare quello di osservare che si ha:

$(1 + 1/n)^{n + 1} = exp[(n + 1)ln(1 + 1/n)] = exp[ln(1 + 1/n) + n ln(1 + 1/n)] = $
$ = exp[ln(1 + 1/n) + n ln(1 + 1/n)] = $
$ = exp[1/n + o(1/n^2) + n(1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^3))] = $
$ = exp[1/n + o(1/n^2) + 1 - 1/(2n) + o(1/n^2)] = $
$ = e exp[1/(2n) + o(1/n^2)] = e [1 + 1/(2n) + o(1/n^2)] = $
$ = e + e/(2n) + o(1/n^2) $

Quindi si ha $(1 + 1/n)^{n + 1} - e = e/(2n) + o(1/n^2) \implies \frac{(1 + 1/n)^{n + 1} - e}{1/n} = e/2 + o(1/n)$