Venticinque numeri distinti

[axpgn]

Dati $25$ numeri positivi differenti, dimostrare che è sempre possibile sceglierne due in modo tale che sia la loro somma che la loro differenza sia diversa da tutti gli altri ventitré numeri.

Cordialmente, Alex

[@melia]

I 25 numeri devono essere positivi, ma anche la loro differenza deve esserlo, oppure accettiamo anche differenze negative?

[axpgn]

Di primo acchito stavo per risponderti sì, anche le differenze devono essere positive ma riflettendoci un attimo mi pare che sia una precisazione inutile nel senso che le differenze saranno due cioè $a-b$ e $b-a$ e dato che quella negativa delle due non avrà riscontro è inutile considerarla.
Se vuoi posso riscriverla così: se $a$ e $b$ sono i numeri richiesti e posto $s=a+b$, $d_1=a-b$, $d_2=b-a$, gli altri ventitré numeri diversi da $a$ e $b$ devono anche essere diversi da $s, d_1, d_2$.
Però mi sembra sovrabbondante ... IMHO

Cordialmente, Alex

[@melia]

Il mio problema è: prendo i numeri interi da 1 a 25, per la somma non ci sono problemi, ma per la differenza non riesco a trovare due numeri la cui differenza non stia nell'insieme. Le differenze negative sono tutte fuori, ma quelle positive sono tutte dentro all'insieme.

[axpgn]

... ma quelle positive sono tutte dentro all'insieme.

Non è quello che ho chiesto ...

[@melia]

Allora non capisco il testo del problema.
1) posso sceglierli io questi 25 numeri?
2) se la risposta è sì, allora prendo i numeri da 1 a 25.
3) dici che tra questi 25 numeri ce ne sono due la cui differenza non è uno degli altri 23, e questi due numeri non li trovo. Presi due numeri qualsiasi tra 1 e 25, la loro differenza è compresa tra 1 e 25.
Magari ho solo la testa dura ma non capisco.

[axpgn]

Hint:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nel tuo caso $a=24$ e $b=12$, per esempio ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Secondo me Sara aveva imboccato un ottimo percorso:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si mostra facilmente che se ciascuna coppia di numeri deve ritrovare almeno uno dei valori somma/differenza nell'insieme degli n numeri positivi distinti assegnati, allora (con $ n>3 $) i numeri devono essere in progressione aritmetica, la cui ragione è il minore dei numeri proposti. In questa progressione compaiono sicuramente almeno un numero m ed il suo doppio che hanno somma più grande del maggiore dei numeri dati, mentre la loro differenza, uguale ad m, appartiene all'insieme assegnato, ma viene esclusa dalla regola, galeotta, proposta da Alex.

Ciao

[axpgn]

Ecco la mia dimostrazione ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Denominiamo i numeri in questo modo $x_1<x_2<...<x_24<x_25$

Se $x_25$ non fa parte della coppia richiesta allora deve essere $x_25=x_1+x_24=x_2+x_23=...$
In tal caso passiamo a considerare $x_24$.
Sommando $x_24$ a $x_2, x_3, ...$ otteniamo un numero maggiore di tutti gli altri quindi per poterlo escludere deve essere $x_24=x_2+x_22=x_3+x_21=...$ ma allora avremmo $x_24=x_12+x_12$ e quindi la coppia richiesta è $x_24, x_12$

Cordialmente, Alex