Sviluppo di Laurent/Taylor

[Dal]

Mi viene chiesto di trovare il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di potenze della funzione $ f(z)= logz/(z+2) $ con centro 0, nella seguente forma $ f(z)= sum_(k = \0)^(+∞) c_k z^k $ ; ho provato a trovare direttamente lo sviluppo, sviluppando prima $ log(z) $, poi sviluppando $ 1/(z+2) $, alla fine eseguendo il prodotto di Cauchy, ma non arrivo a buone conclusioni. Utilizzando la formula integrale per i $ c_k=int_(gamma ) logz/(2pi i (z+2)z^k) dz $, dove $ gamma $ è un disco (o una curva che circonda zero almeno una volta) con raggio minore di 1 (dove la funzione è olomorfa), non riesco comunque a scrivere lo sviluppo perchè dovrei calcolarmi le derivate di ogni ordine k per torvare i residui... Mi piacerebbe sapere a questo punto se effettivamente il punto 1 sia di singolarità per la funzione e anche se conoscete un modo per trovare il raggio di convergenza o per trovare lo sviluppo della serie

[gugo82]

Come fai a sviluppare in serie con centro in $0$ se in $0$ c'è una singolarità che è punto di diramazione?
Sei sicuro del testo?

Secondo me il centro dello sviluppo dovrebbe essere $1$...

[Dal]

Ne sono abbastanza sicuro, il testo è questo "Si consideri la funzione complessa $ f(z) = Log(1+z)/(z+2) $ dove Log è il logaritmo principale.
Specificarne le singolarità.
Posto f(z) = $ sum_(k = \0)^(∞) c_kz^k $ , si dica come `e fatto il coefficiente $c_k$ e si determinino esplicitamente i primi 3 coefficienti.
Si determini il raggio di convergenza della serie."

[gugo82]

E quindi perché hai scritto $log z$ al posto di $log(1+z)$ nel testo che hai riportato?

Ad ogni buon conto, è un esercizio di Analisi I o II.
Basta determinare l'espansione in serie di Taylor di due funzioni e farne il prodotto di Cauchy.

[Dal]

Non me ne ero accorto, comunque ho solo sbagliato a scrivere, i conti li ho eseguiti con log(1+z), z è variabile complessa se non si fosse capito. Per noi è un esercizio di metodi matematici per la fisica ; ho eseguito il prodotto di Cauchy ma mi esce $ 2sum_(k = \0)^(∞)(-1)^k(z/2)^ksum_(j = \0)^(k)(2)^j/(j+1) $ quindi i coefficienti sono $ c_k=2(-1/2)^ksum_(j = \0)^(k)(2)^j/(j+1) $ , e appunto da questi non riesco a risalire al raggio di convergenza, anche se credo sia 1, dal momento che in 1 c'è una singolarità...

[gugo82]

Hai di nuovo sbagliato a scrivere lo sviluppo, che, per inciso, non può essere quello giusto (sia per l'errore, sia perché devi scrivere comunque meglio ).

Il raggio di convergenza è $1$ per noti fatti di teoria.
Infatti, sul bordo del cerchio di convergenza di un elemento analitico cade sempre almeno una singolarità della funzione.
E quali sono le singolarità della tua funzione?
Qual è quella più vicina al centro?

[Dal]

Non ho capito dove sta l'errore... quel prodotto di Cauchy è errato o c'è qualche errore negli indici?
Ho proceduto in questo modo:
$ log(1+z)=sum_(k = 0)^(∞)(-1)^k/(k+1)z^(k+1) $
$ 1/(z+2)=(1/2)sum_(k = 0)^(∞)(-1)^k(z/2)^(k) $
poi il prodotto di Cauchy mi ha dato la serie del messaggio precedente(in realtà ho moltiplicato per un due di troppo fuori dalla sommatoria)... non riesco appunto ad elimire quell'indice j; scusami se sto facendo troppe domande

[gugo82]

Il prodotto di Cauchy non ti può mai aver dato quella serie lì: l'hai calcolato male.

Infatti, dato che:
\[
\begin{split}
\log (1+z) &= z\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\ z^n\\
\frac{1}{z+2} &= \sum_{n=0}\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\ z^n
\end{split}
\]
hai:
\[
\begin{split}
f(z) &= z\ \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\ \frac{(-1)^{n-k}}{2^{n-k+1}}\right)\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\ \left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1) 2^{n-k+1}}\right)\ z^{n+1}\\
&= \sum_{n=1}^\infty \underbrace{(-1)^{n}\ \left(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(k+1) 2^{n-k}}\right)}_{=:c_n}\ z^{n+1}\; .
\end{split}
\]
ed i primi tre coefficienti si calcolano con un po' di somme di frazioni.

[Dal]

Grazie mille. Mi sembra però che i coefficienti $c_n$ siano quelli che ho scritto anche io, solamente che $ 2^(-k) $ l'ho portato al numeratore, quindi mi diventa $ 2^(k) $, mentre il $ 2^(n) $ che si trova dentro la sommatoria sui k l'ho portato all'esterno della sommatoria sui k, poichè non dipende dall'indice k (anche se non sono sicuro sia proprio lecito).

[gugo82]

Scusa, hai ragione... Ho scritto di fretta e non l'ho notato.