"Si consideri il segnale periodico $ x(t)=rep_2[x_g(t)] $, dove
$ x_g(t)={(t,if 0<=t<=1),(t(2-t),if 1<t<=2), (0,text{altrimenti}):} $
$A)$ Dopo aver disegnato $x_g(t)$, calcolare i coefficienti $X_k$ della serie di Fourier di $x(t)$.
$B)$ Semplificare il più possibile l’espressione dei coefficienti $X_k$ nel caso di $k$ pari.
$C)$ Determinare l’uscita $y(t)$ del sistema LTI avente risposta in frequenza $ H(f) = (j2pif) rect((2f)/3) $ sollecitato in ingresso da $x(t)$."
Allora, ho disegnato $x_g(t)$ ottenendo questo grafico:
Per calcolare i coefficienti utilizzo questa formula: $ X_k=1/T_0int_(T_0)x(t)*e^(-j2pikt/T_0)dt $, ottenendo quindi, in questo caso, due integrali:
$ X_(k1)=1/2int_(0)^(1)t*e^(-jpikt)dt $
e
$ X_(k2)=1/2int_(1)^(2)t(2-t)*e^(-jpikt)dt $
A questo punto dovrei risolverli per parti ma credo che durante l'esame ci metterei troppo tempo, rischiando anche di sbagliare i conti, c'è qualche altro metodo che posso usare?
Sto provando a utilizzare un metodo grafico calcolando la derivata di $x_g(t)$ e basandomi sui risultati del grafico ottengo $ x_g^'=rect(t-1/2)-delta(t-2) $
potrebbe andare?
Continuando con questa strada ne ho fatto la trasformata di Fourier e ho trovato $ X_g(f)=sinc(f)*e^(-jpif)-e^(-j4pif) $
