Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 27/07/2018, 10:15

Salve, propongo un problema credo abbastanza semplice, ma essendo un po' arrugginito non riesco a trovare una "formula" valida in generale:

In un bosco ben delimitato ci sono N funghi. Arriva un gruppo composto da M persone, ciascuna delle quali inizia a cercare funghi per conto proprio.

Domande:
1-Quando tutti i funghi del bosco sono stati raccolti, qual'è la probabilità che una persona sia riuscita a raccogliere almeno un fungo?
2- Qual'è il numero minimo N di funghi che dovrebbe essere presente nel bosco per fare in modo che ciascuno degli M cercatori abbia una determinata sicurezza di riuscire a raccogliere almeno 1 fungo?

Io ho iniziato a fare il seguente ragionamento, ma mi piacerebbe avere una risposta valida per qualunque valore di M ed N interi.
Prima di tutto: appena inizia la ricerca, se fosse presente un solo fungo (N=1), essendoci M persone, ciascuna di esse avrà una probabilità 1/M di trovare il fungo.
Se fosse N=2, la probabilità per una persona di trovare "almeno un fungo" sarebbe data dalla probabilità di trovare 1 fungo + la probabilità di trovare 2 funghi, per tanto sarebbe ovviamente maggiore rispetto al caso in cui ci fosse un solo fungo.
Qual'è la probabilità di trovare 2 funghi da parte di una persona quando ci sono in tutto M persone? (E' qui che mi incarto...) :roll:
Andando avanti con il ragionamento al crescere di N la probabilità di trovare "almeno" un fungo cresce, ma la cosa si complica in quanto una persona potrebbe trovare molti funghi, e di conseguenza un'altra persona potrebbe non trovarne nessuno, perciò bisognerebbe analizzare tutti i casi possibili e calcolare una probabilità complessiva, ma io mi aspetto che questa probabilità aumenterà sempre al crescere di N, pur senza mai arrivare a 1.

Quindi in merito alla seconda domanda (conseguenza della prima), ritengo che non esista un valore di N "sufficientemente grande" per avere la certezza di trovare almeno un fungo (perchè come visto prima c'è sempre la probabilità seppur remota che qualcuno rimanga senza funghi), per tanto per avere una ragionevole "sicurezza" di trovare almeno un fungo si dovrebbe introdurre un limite grande a piacere, ad esempio il 90% o il 99%, o comunque una soglia prefissata, (chiamiamola X in modo da avere una soluzione del tutto generale).
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda tommik » 27/07/2018, 10:47

intanto occorre definire meglio il problema...innanzitutto mi pare ragionevole porre $M<N$

Ora la probabilità che una qualsiasi delle M persone riesca a trovare almeno un fungo è il complemento della probabilità che tutti i funghi cadano nei cestini degli altri $M-1$ soggetti e quindi la probabilità richiesta è

$1-(((N),(M-1)))/(((N),(M)))=1-M/(N-M+1)$

per il resto ti invito a ragionare e produrre qualche bozza di soluzione....(ciò che hai postato è molto lontano dal definirsi bozza di soluzione)



buona giornata e buon lavoro
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 27/07/2018, 11:12

Intanto grazie per la risposta.
Sto riflettendo sulla formula che hai messo, che ancora sto cercando di capire. Nel frattempo però mi sembra che qualcosa non torni, del tipo:

Perchè M deve necessariamente essere inferiore a N? Io potrei anche avere meno funghi che persone, e chiedermi lo stesso quale probabilità abbia di trovare almeno un fungo (dovrebbe essere semplicemente un valore più piccolo rispetto che se avessi più funghi....) :roll:
Inoltre, in questa soluzione, se avessi ad esempio M=2 persone e N=3 otterrei una probabilità pari a 0. :roll:
Infine, sempre con questa soluzione, se pongo M=1 (ossia una sola persona) ottengo una probabilità < 1, qualunque sia N mentre dovrei necessariamente ottenere 1.
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda tommik » 27/07/2018, 11:21

#-o hai ragione!....


$1-((M-1)/M)^N$, $AA M,N in NN^+$

così è giusta.....

per il resto, come detto prima, ti lascio ragionare....qui però torniamo alla restrizione precedente: $M<=N$ altrimenti non è possibile che ogni cercatore abbia almeno un fungo
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 27/07/2018, 11:27

OK ora va meglio. Adesso provo a ragionarci sopra.... :smt023
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 27/07/2018, 13:45

Allora, sto ragionando ancora su come hai fatto a trovare questa formula..... (un aiutino, sono ingegnere, non matematico :-D ).
Comunque, passando alla seconda parte della domanda, una volta stabilita la probabilità di trovare almeno un fungo dati N e M, posso osservare che, fissato X come "soglia di accettabilità" (esempio X=0,99), è immediato ricavare il numero minimo di N tale per cui si abbia una probabilità maggiore di X di trovare almeno un fungo, infatti:

$ P>X $ da cui:
$ 1-((M-1)/M)^N > X $
da cui:
$ N>LOG_(((M-1)/M)) (1-X) = (LOG(1-X)) /( LOG((M-1)/M) $

Facendo alcuni esempi:
Se ho M=4 persone che cercano, per avere una ragionevole probabilità che ciascuno di essi non venga a casa a mani vuote (X=0,99) dovrebbero essere sufficienti almeno N>16 funghi (ossia pari a 4 volte il numero di persone)
Aumentando la soglia X=0,999 otterrei N>24 (pari a 6 volte il numero delle persone)
La curva N-P, è asintotica, ma cresce abbastanza rapidamente nel primo tratto, quindi non occorre spingersi troppo oltre con la soglia....:lol:
Diciamo quindi che "ingegneristicamente", per essere "quasi sicuri" di trovare almeno un fungo dovrebbero esserci almeno 4 o 5 funghi a testa, questo vale poi in generale anche con più persone..
Ultima modifica di boba74 il 27/07/2018, 14:07, modificato 1 volta in totale.
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda tommik » 27/07/2018, 13:56

boba74 ha scritto:Allora, sto ragionando ancora su come hai fatto a trovare questa formula..... (un aiutino, sono ingegnere, non matematico :-D )


Se hai N palline che devono andare tutte in $(M-1)$ cestini, ad ogni tentativo la probabilità di fare centro è $(M-1)/M$

Dato che le N palline si possono vedere come N prove indipendenti la probabilità che tutte finiscano in quei cestini è

$((M-1)/M)^N$

e quindi la probabilità cercata è il complementare.

Per quanto riguarda il resto dell'esercizio

boba74 ha scritto: Adesso provo a ragionarci sopra.... :smt023


non mi pare che tu abbia fatto ancora un gran ragionamento: non hai fatto altro che risolvere in N la probabilità1 che ti ho indicato io fissato un certo $p%$ ma questa non è la richiesta della traccia.

Infatti il testo chiede che TUTTI gli M individui abbiano almeno un fungo (con una certa probabilità fissata)....e non è la stessa cosa

Note

  1. oltre ad aver sbagliato la formula perché ovviamente non è $log(M-1/M)$ ma $log(1-1/M)$
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 27/07/2018, 14:14

Grazie (l'errore nella formula era dovuto al fatto che non avevo messo una parentesi nella stringa dell'ACIImath, sulla carta l'avevo scritta bene però...). :lol: ora dovrebbe essere a posto.
Riguardo alla probabilità che TUTTI abbiano almeno un fungo.... in effetti non è la stessa cosa di dire che una persona abbia almeno un fungo...., anche se non mi aspetto grosse differenze in termini numerici. Staremo a vedere. :smt023
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 30/07/2018, 09:16

Non aiutatemi, forse ci sto arrivando.... 8-)
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Re: Numero minimo di funghi

Messaggioda boba74 » 01/08/2018, 13:28

Salve, purtroppo non sono ancora riuscito a trovare la risposta.... ](*,)

Allora, io ho ragionato così:
La probabilità che TUTTI trovino almeno un fungo si potrebbe ricavare facendo il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili.
Ora, il numero di casi possibili, essendoci M ricercatori e N funghi è pari a
$M^N$
che rappresenta il numero di disposizioni possibili di M elementi in un insieme di N elementi con "ripetizione" (perchè ciascno degli M ricercatori può essere "estratto" fino a N volte)

Ora, il numero di casi favorevoli si avrebbe contando solo le estrazioni in cui compaiono tutti gli M elementi contemporanemente, escludendo quindi quelle dove uno o più elementi di M non compare (cioè non trova nessun fungo).
Sarebbe un po' come chiedersi, se lancio N volte un dado in quanti modi è possibile ottenere almeno una volta tutti i numeri da 1 a 6 (in questo caso M=6). Nel caso del dado ho provato a "contare" i primi risultati, ponendo ad esempio N=6, io avrò che lanciando il dado 6 volte ho un unica combinazione possibile che mi permetta di ottenere tutti e 6 i numeri (perchè non importa l'ordine di uscita). Se lo lancio 7 N=7 volte ho 6 possibilità di ottenere tutti i numeri (sarebbero i casi in cui ciascuno ottiene 1 fungo e il fungo in più viene assegnato di volta in volta a ciascuno), se ho N=8 ottengo 20 possibilità (visto che ci sono 2 funghi in più dei ricercatori si tiene conto anche delle possibili doppiette e triplette) e così via....(già aumentando a 9 c'è da diventar matti....).
Non riesco però a "generalizzare" il numero di casi favorevoli, ho provato a guardare le varie formule del calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni, ecc....) ma senza trovarne una applicabile direttamente, per tanto credo che mi sfugga un passaggio, e forse non ho sufficienti nozioni matematiche. A occhio, mi aspetto che la probabilità cercata dipenda molto dalla differenza (o dal rapporto) tra N e M, nel senso che la probabilità di "accontentare" tutti si ha solo oltre un certo numero di funghi "in più" rispetto al numero di persone, ma questa cosa mi sembra ovvia..... :roll:
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