Veramente, la definizione è geometrica; e quel determinante che ha per prima riga i versori
degli assi cartesiani si trova proprio sfruttando la proprietà distributiva (oltre, naturalmente, la stessa definizione geometrica).
@ Alex
Siccome anche tu, Alex, hai più di 14 anni, a te riassumo quello che ai miei ragazzini di 14 anni spiegavo dettagliatamente (con tanto di dispense ... chiare
"come un libro stampato"!)
Mettiamoci nello spazio tridimensionale. Un segmento – cioè uno "spezzone" di retta – ha una lunghezza, una direzione (quella della retta di cui è segmento) e due estremi. Prendiamone uno come "origine" e l'altro come "termine". Allora il segmento è
"orientato".
Dato un segmento orientato, nello spazio ci sono infiniti segmenti orientati con lo stesso modulo, la stessa direzione (perché segmentidella stessa retta o di qualche retta parallela a quella di cui è segmento quello dato) e lo stesso verso. [NB: due segmenti con la stessa lunghezza e la stessa direzione hanno lo stesso verso se è possibile sovrapporre origine e termine di uno rispettivamente su origine e termine dell'altro con una traslazione rigida (nella quale il traslato si muove mantenendo costanti la lunghezza e la direzione)].
Due segmenti orientati con la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso si dicono "equipollenti". L'insieme dei segmenti orientati equipollenti (ciascuno a ciascun altro) è un
vettore. Il "modulo" di questo vettore è la comune lunghezza dei suoi elementi (segmenti orientati equipollenti). La sua direzione ed il suo verso sono pure la comune direzione ed il comune verso dei suoi elementi.
Salto a piè pari la spiegazione del fatto che un qualsiasi segmento orientato individua il vettore di appartenenza (e pure lo rappresenta).
Il segmento
AB (con
A di coordinate $[x_A, y_A, z_A]$ e
B di coordonate $[x_B, y_B, z_B]$ ed orientato da
A a
B sia rappresentativo del vettore
v.
Salto a piè pari la spiegazione del fatto che c'è una corrispondenza biunivoca tra il vettore
v e la terna delle differenze di coordinate cartesiane di
A e
B, per cui lo stesso vettore può essere rappresentato da questa terna .
Salto a piè pari anche il fatto che l'insieme di tutti i vettori è il sostegno di un gruppo abeliano rispetto all'operazione binaria interna "somma di due vettori"; e salto a piè pari anche la spiegazione del fatto che, detti
i,
j e
k i versori degli assi cartesiani (di un riferimento ortogonale isometrico), per un qualsiasi vettore [x, y, z] risulta:
xi +
yj +
zk = [
x, y, z].
Adesso metto la definizione del prodotto vettoriale come la davo ai miei allievi di 14 anni mostrandoti (in immagine png) proprio la copia del relativo brano delle dispense:
Secondo questa definizione si ha:
i ×
i =
j ×
j =
k ×
k =
0;
i ×
j =
k;
j ×
k=
i;
k ×
i =
j;
j ×
i =
–k;
k ×
j=
-i;
i ×
k =
-j.
Se il prodotto vettoriale è distributivo rispetto alla somma allora ... prova tu, Alex, tenendo conto del fatto che:
).
).
P.S. (Editando)
Ho cambiato l'immagine del testo della definizione geometrica del prodotto vettoriale (che non si vedeva tutta perché troppo larga) con una ottenuta dalla stessa riducendone un po' la scala.