Dubbio sull' "uguaglianza" triangolare

[Cantor99]

In questi giorni mi è salito un dubbio esistenziale sulla diseguaglianza triangolare $|u+v|<=|u|+|v|$ : quando vale l'uguaglianza? La risposta dovrebbe essere quando $u,v$ sono linearmente dipendenti e teoricamente mi trovo!

Ripercorrendo la dimostrazione ho
$|u+v|^2=\sigma(u+v,u+v)=|u|^2+2\sigma(u,v)+|v|^2 <=|u|^2+2|u||v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2$
Estraendo la radice ho la tesi

Ora se $u,v$ sono linearmente dipendenti ho che $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e vale l'uguaglianza. Se vale l'uguaglianza ho $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e $u,v$ sono linearmente dipendenti (perchè la diseguaglianza di Cauchy-Shwarz diventa un'uguaglianza se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti)

Adesso però, se in $\RR^2$ col prodotto scalare standard considero, $u=(1,-1)$ e $v=(-1,1)$
$|u+v|=0$
$|u|+|v|=2sqrt(2)$

Su qualche altro libro ho letto che $u,v$ devono essere 'concordi' ma questo non lo ritrovo nella dimostrazione precedente, né sul mio di libro..
Ringrazio anticipatamente

[dissonance]

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[Cantor99]

Bene ho capito, grazie. Non mi spiego perchè il mio libro non l'abbia specificato

[dissonance]

Bene ho capito, grazie. Non mi spiego perchè il mio libro non l'abbia specificato

Era un errore. Con il tuo controesempio si vede che i due vettori devono essere concordi, non basta che siano linearmente dipendenti.