Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 04/08/2018, 04:37

Siano a, b e c tre vettori (nello spazio euclideo tridimensionale) linerarmente indioendenti .
Provare che a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Non so, però, se un tale argomento andrebbe invece messo in "Pensare un po' di più".
Ai miei tempi il prodotto vettoriale non si studiava nemmeno al liceo scientifico. Ma io, a partire dal 1984 – quando sono passato ad insegnare solo Fisica (e Laboratorio) al biennio ITIS – insegnavo il calcolo vettoriale in 1ª ITIS (con ricaduta ottima sull'impiego di formule e sulla loro comprensione per precisare rigorosamente le leggi della Fisica), ma omettevo la prova che il prodotto vettoriale è distributivo (perché la giudicavo troppo complicata per i miei ragazzini di 14 anni). Ci accontentavamo di verificare la proprietà su qualche esempio. La prova nell'approccio geometrico è davvero complicata e difficile (e richiede la padronanza della trigonometria).
Mi pare, però, che bell'approccio analitico (ossia: consideranto il vettore tridimensionale come una teerna ordinata di freali) sia alla portata anche dei ragazzini di 14 anni.

Mi aspetto un intervento almeno di giammaria! :D
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda axpgn » 04/08/2018, 13:31

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La definizione che conosco di prodotto vettoriale è questa:

Dati i due $m=[(m_1),(m_2),(m_3)]$ e $n=[(n_1),(n_2),(n_3)]$ vettori in $RR^3$ allora il prodotto vettoriale $m xx n$ sarà

$p=m xx n= det |(i, j, k),(m_1,m_2,m_3),(n_1,n_2,n_3)|$ ovvero $p=[(m_2n_3-m_3n_2),(m_3n_1-m_1n_3),(m_1n_2-m_2n_1)]$

Dato $A xx (B+C)$ e posto $D=(B+C)$ ossia $D=((b_1+c_1),(b_2+c_2),(b_3+c_3))$ avremo $P=A xx (B+C)=A xx D=[(a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)),(a_3(b_1+c_1)-a_1(b_3+c_3)),(a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1))]$

D'altra parte $P'=A xx B + A xx C=[(a_2b_3-a_3b_2),(a_3b_1-a_1b_3),(a_1b_2-a_2b_1)]+[(a_2c_3-a_3c_2),(a_3c_1-a_1c_3),(a_1c_2-a_2c_1)]=[(a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)),(a_3(b_1+c_1)-a_1(b_3+c_3)),(a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1))]$

Ovvero $P=P'$.


Cordialmente, Alex

P.S.:
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
giammaria ha più di 14 anni ... :D
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 04/08/2018, 19:22

La mia risposta non differisce sostanzialmente da quella di axpgn, ma mi pare espressa in termini più accessibili. Presuppone la conoscenza di un po' di trigonometria e di alcune altre nozioni (che elencherò); qualcuna dovrebbe essere già nota mentre altre vanno introdotte appositamente, ma sono facili e brevi (a patto di non approfondirle troppo).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Le pre-nozioni richieste sono:

1) Conoscenza dei determinanti di terzo ordine. Di solito vengono introdotti in prima o in seconda, parlando della soluzione dei sistemi lineari; vengono calcolati con la regola di Sarrus.

2) Il concetto di componenti nella direzione dei tre assi cartesiani, con la formula $vec b=b_x veci+b_y vecj+b_z veck$. Supposto poi che $vecb$ sia nel piano (x,y) servono anche le formule $b_x=bcos beta; b_y=b sin beta; b_z=0$

3) il fatto (facilmente dimostrabile) che, scegliendo le coordinate in modo che il piano (x,y) coincida con quello individuato da $vecb, vecc$, la solita definizione di prodotto vettoriale coincide con
$vecb xx vecc=|(veci,vecj,veck),(b_x,b_y,b_z),(c_x,c_y,c_z)|$
Volendo, si può accennare al fatto che la formula vale in generale, ma ne sconsiglierei la dimostrazione.

A questo punto basta fare i calcoli per verificare la proprietà distributiva.


Quasi certamente ci sono anche soluzioni di altro tipo, ma mi sembrano piuttosto macchinose. Forse (ma non ho approfondito) è possibile darne una dimostrazione fisica e non matematica, pensando ai momenti di due forze.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 05/08/2018, 00:26

axpgn ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La definizione che conosco di prodotto vettoriale è questa:[ecc. ecc.]
Veramente, la definizione è geometrica; e quel determinante che ha per prima riga i versori i, j e k degli assi cartesiani si trova proprio sfruttando la proprietà distributiva (oltre, naturalmente, la stessa definizione geometrica).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
@ Alex
Siccome anche tu, Alex, hai più di 14 anni, a te riassumo quello che ai miei ragazzini di 14 anni spiegavo dettagliatamente (con tanto di dispense ... chiare "come un libro stampato"!)
Mettiamoci nello spazio tridimensionale. Un segmento – cioè uno "spezzone" di retta – ha una lunghezza, una direzione (quella della retta di cui è segmento) e due estremi. Prendiamone uno come "origine" e l'altro come "termine". Allora il segmento è "orientato".
Dato un segmento orientato, nello spazio ci sono infiniti segmenti orientati con lo stesso modulo, la stessa direzione (perché segmentidella stessa retta o di qualche retta parallela a quella di cui è segmento quello dato) e lo stesso verso. [NB: due segmenti con la stessa lunghezza e la stessa direzione hanno lo stesso verso se è possibile sovrapporre origine e termine di uno rispettivamente su origine e termine dell'altro con una traslazione rigida (nella quale il traslato si muove mantenendo costanti la lunghezza e la direzione)].
Due segmenti orientati con la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso si dicono "equipollenti". L'insieme dei segmenti orientati equipollenti (ciascuno a ciascun altro) è un vettore. Il "modulo" di questo vettore è la comune lunghezza dei suoi elementi (segmenti orientati equipollenti). La sua direzione ed il suo verso sono pure la comune direzione ed il comune verso dei suoi elementi.
Salto a piè pari la spiegazione del fatto che un qualsiasi segmento orientato individua il vettore di appartenenza (e pure lo rappresenta).
Il segmento AB (con A di coordinate $[x_A, y_A, z_A]$ e B di coordonate $[x_B, y_B, z_B]$ ed orientato da A a B sia rappresentativo del vettore v.
Salto a piè pari la spiegazione del fatto che c'è una corrispondenza biunivoca tra il vettore v e la terna delle differenze di coordinate cartesiane di A e B, per cui lo stesso vettore può essere rappresentato da questa terna .
Salto a piè pari anche il fatto che l'insieme di tutti i vettori è il sostegno di un gruppo abeliano rispetto all'operazione binaria interna "somma di due vettori"; e salto a piè pari anche la spiegazione del fatto che, detti i, j e k i versori degli assi cartesiani (di un riferimento ortogonale isometrico), per un qualsiasi vettore [x, y, z] risulta:
xi + yj + zk = [x, y, z].
Adesso metto la definizione del prodotto vettoriale come la davo ai miei allievi di 14 anni mostrandoti (in immagine png) proprio la copia del relativo brano delle dispense:
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Secondo questa definizione si ha:
i × i = j × j = k × k = 0;
i × j = k; j × k= i; k × i = j;
j × i = –k; k × j= -i; i × k =-j.

Se il prodotto vettoriale è distributivo rispetto alla somma allora ... prova tu, Alex, tenendo conto del fatto che:
i × i = j × j = k × k = 0;
i × j = k; j × k= i; k × i = j;
j × i = –k; k × j= -i; i × k =-j
a fare
u × v = ($u_x$i+$u_y$j+$u_z$k) × ($v_x$i+($v_y$j+($v_z$k).
Vedrai che ti viene la stessa cosa che facendo il determiunante della matrice
| i,... j,... k |
|$u_x, u_y, u_z$|
|$v_x, v_y, v_z$ |
Quindi, la tua spiegazione è il classico "cane che si morde la coda" (alias: un "circolo vizioso" :-D ).
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P.S. (Editando)
Ho cambiato l'immagine del testo della definizione geometrica del prodotto vettoriale (che non si vedeva tutta perché troppo larga) con una ottenuta dalla stessa riducendone un po' la scala.
Ultima modifica di Erasmus_First il 10/08/2018, 10:16, modificato 2 volte in totale.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda axpgn » 05/08/2018, 00:38

Beh, dipende dai punti di vista ... :-D
Ho iniziato riportando la definizione che conosco perché presumevo già che ci fossero "discussioni" :-D (si fa per dire)
Peraltro "conosco" è una parola grossa, più che altro è una definizione "letta" chissà quanto tempo fa e "frequentata" assai poco.
Comunque, dato che quella per me è LA definizione di prodotto vettoriale e da quella ho ottenuto la dimostrazione che volevi, io non ci vedo "circuiti chiusi" ... non ti pare? :wink:

Cordialmente, Alex
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 05/08/2018, 07:19

Nelle secondarie, LA definizione di prodotto vettoriale è di solito: "quel vettore che ha come modulo ..., come direzione ... e come verso ..."
Per questo io, pur usando lo stesso determinante, ho detto che si dimostra facilmente che dà quel risultato (o almeno, che lo fa nel caso considerato; è comunque sempre lecito scegliere gli assi più comodi).
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 07/08/2018, 11:17

Mi è venuta un'idea che forse risponde al quesito in modo molto migliore dei precedenti, ma non ho la pazienza di svilupparla; la butto lì, per chi ha più voglia di me.
Come prima cosa si dimostra che, detta $vecb_1$ la proiezione di $vecb$ su una retta perpendicolare ad $veca$, si ha
$veca xx vecb=veca xxvec b_1$
Con un disegno, si mostra poi che, posto $vecs=vecb+vecc$, e considerando le proiezioni su un piano perpendicolare ad $veca$, si ha $vecs_1=vecb_1+vecc_1$
Ne consegue
$veca xx vecb=veca xx vecb_1;" " veca xx vecc=veca xx vecc_1;" "veca xx vecs=veca xx vecs_1$
ed ora tutto il ragionamento è spostato su un unico piano, in cui non dovrebbe essere difficile dimostrare la proprietà distributiva. Ma lo lascio ad altri.

Aggiungo una riflessione di tutt'altro tipo: i ragazzini sui 14 anni considerano ovvia la proprietà distributiva. Anzi, il loro insegnante ha qualche difficoltà a convincerli della necessità della dimostrazione: è quindi sufficiente che taccia e la applichi. Se poi un allievo particolarmente sveglio vede il sotterfugio e protesta, gli si risponde con un bel sorriso: "Bravo, la dimostrazione è davvero necessaria. L'ho omessa perché è lunga ed abbastanza complicata; se vuoi te la faccio, ma allora dovrete studiarla, altrimenti sarebbe tempo perso." E' garantito che rifiuterà.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Vulplasir » 09/08/2018, 12:22

$a xx b= e_(ijh)a_jb_h$ essendo $e_(ijh)$ il tensore di Ricci
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 09/08/2018, 16:10

Direi che la risposta di Vulplasir è incomprensibile per un ragazzo delle superiori.
La mezza idea che avevo esposto nell'ultima mail ha continuato a ronzarmi in testa, finché ho visto che bastava poco per completarla; lo faccio ora, riprendendo il problema dall'inizio per maggiore chiarezza.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Considerato un piano perpendicolare ad $veca$, indico col pedice 1 le proiezioni su di esso.
Dimostro che $veca xx vecb=veca xx vecb_1$, essendo uguali modulo, direzione e verso dei risultati. Idem per gli altri prodotti.
Posto $vecs=vecb+vecc$, noto che si ha $vecs_1=vecb_1+vecc_1$, come visibile dalla figura e dimostrabile senza troppa difficoltà.
I risultati dei prodotti vettoriali giacciono su quel piano; il risultato di $veca xx vecb_1$ è ruotato di 90* rispetto a $vecb_1$ ed ha modulo moltiplicato per $a$.
L'analogo vale per gli altri prodotti, quindi la figura formata da $veca xx vecb_1,veca xx vecc_1,veca xx vecs_1$ è simile a quella formata da $vecb_1, vecc_1, vecs_1$. In quest'ultima si aveva $vecb_1+vecc_1=vecs_1$, quindi nella prima si ha
$(veca xx vecb_1)+(veca xx vecc_1)=veca xx vecs_1$
Tenendo conto delle eguaglianze precedentemente indicate, ho quindi
$(veca xx vecb)+(veca xx vecc)=veca xx (vecb+vecc)$
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 09/08/2018, 23:48

giammaria ha scritto:[...] Come prima cosa si dimostra che, detta $vecb_1$ la proiezione di $vecb$ su una retta perpendicolare ad $veca$, si ha
$veca xx vecb=veca xxvec b_1$
Immagine Immagine
Nello spazio, di rette di direzione perpendicolari ad una data retta in un medesimo suo punto ..."haccene millanta (che tutta notte canta)." (direbbe Boccaccio) Immagine
Vulplasir ha scritto:$a xx b= e_(ijh)a_jb_h$ essendo $e_(ijh)$ il tensore di Ricci
Ho appena letto la risposta di giammaria a questo riguardo. Io sono molto probabilmente più ignorante e senz'altro più vecchio: fatto sta che non so proprio cosa vuol dire dire la risposta di Vulplasir (al quale in passato più volte ho già fatto i miei sentiti complimenti e che saluto con un sincero "Bentornato!" ).
--------------
Passo a "dire la mia"!
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ossia: come intendevo spiegare io in 3ª liceo scientifico l'ultimo anno che ho insegnato matematica e fisica in 3ª, 4ª e 5ª Liceo Scientifico [solo un mese, a.s. 1983/84], ma non ho fatto in tempo perché in ottobre sono stato trasferito nella sede centrale ad insegnare solo matematica a 4 classi del biennio Liceo Scientifico [delle quali le due prime erano una di ben 35 allievi/(allieve) e l'altra di 34: ma di ragazzi /(ragazze) stupendi/(stupende), mediamente i più bravi/(e) di tutti i miei 20 anni [consecutivi] fatti come insegnante alle "superiori"].
Dopo quest'anno sono passato a insegnare "Fisica e Laboratorio" al biennio ITIS (dove sono stato per 10 anni consecutivi e dove, negli ultimi 5 anni, ho sostituito i libri di testo (le cui ristampe io trovavo di anno in anno revisionate sempre in peggio!) con le "mie" dispense [scritte col Macintosh Plus (del1989), fotocopiate in scuola a prezzi stracciati ... delle quali conservo gelosamente copia in PDF, ossia ancora "apribile" e "stampabile" ed identica a quella su cui studiavano i miei allievi. [Ultima "revisione": estate 1993].
Ho già detto che insegnavo coordinate cartesiane e vettori nello spazio tridimensionale. Secondo me è fondamentale anticipare proprio la nozione di "prodotto vettoriale" (e quindi è indispensabile lo studio dei vettori in tre dimensioni) per facilitare successivamente la "precisazione" di certe nozioni di Fisica [per esempio: "momenti" di forze in meccanica; "forze magneto-dinamiche" (cioè azioni dei campi magnetici sui fili percorsi da corrente elettrica); "Forza di Lorentz (cioè azione del campo magnetico sul moto di cariche elettriche libere), ecc.]. Ho già detto anche che in 1ª ITIS la proerietà distributiva [del prodotto vettoriale] rispetto alla somma era dichiarata ma non veniva provata (per l'ancora basso livello delle conoscenze di matematica); e veniva impiegata per trovare l'uguaglianza:
$[u_x, u_y, u_z] × [v_x, v_y, v_z] = [u_y·v_z -u_z·v_y, u_z·v_x -u_x·v_z, u_x·v_y - u_y·v_x]$

Ma adesso sono troppo stanco!
A domani.
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