Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 19:36

Ciao a tutti, quando si parla di intorni sferici in \(\displaystyle \mathbb{R} \) o in \(\displaystyle \mathbb{C} \) non ci sono grossi problemi. Tuttavia trovo più difficile visualizzare cosa significano in altri spazi metrici. Ad esempio, prendendo lo spazio di funzioni \(\displaystyle C[-1,1] \), \(\displaystyle B(x_0,1) \) è l'intorno sferico di raggio $1$ centrato in una funzione \(\displaystyle x_0(t) \). Quindi se per esempio prendo \(\displaystyle x_0=t^2 \) cosa devo immaginare? Il grafico di una parabola e i punti che distano da esso meno di $1$? Oppure c'è un punto che fa da centro da cui devo calcolare la distanza? Ha senso pensare al grafico della funzione se in realtà i punti da cui devo calcolare la distanza sono a loro volta delle funzioni?

Posto comunque alcuni esercizi sull'argomento:

i) Ogni intorno sferico definito da \(\displaystyle \{x\in X : \mathrm{d}(x,x_0<r\} \) è un insieme aperto. Prendendo un punto \(\displaystyle x_0 \) a metà del raggio iniziale posso trovare ad esempio un suo intorno con \(\displaystyle r_2=r_1/2 \); per induzione, avvicinandomi sempre di più al bordo dimezzando la distanza posso definire la successione \(\displaystyle r_n=r_1/2^n \) e trovare così sempre un intorno aperto per ogni punto dell'insieme.

ii) Determinare in \(\displaystyle C[0,2\pi] \) il più piccolo $r$ tale che \(\displaystyle y\in B(x,r) \), dove \(\displaystyle x=\sin t \), \(\displaystyle y=\cos t \).
Se le cose stanno come lo ho intese io, allora semplicemente si tratta di prendere $r=1$, poiché nell'intervallo \(\displaystyle [0,2\pi] \) le due funzioni \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) distano tra loro al più uno.
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Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 20:22

Per il punto (i) (che non ha nulla a che vedere con il fatto che si parli di spazi di funzioni) si può semplicemente dire che preso un punto \( y \in B(x,r) \) è sufficiente considerare la palla \( B(y, d_y/2) \) dove \( d_y= r-d(x,y)>0 \). Infatti se \( z \in B(y, d_y/2) \) allora \( d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) = d(x,y)+ r/2 - d(x,y)/2 = r/2 + d(x,y)/2 < r/2 + r/2 = r \).

Per il punto (ii) ricontrolla.
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Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 21:50

Grazie per la risposta esauriente. Ma se \(\displaystyle \mathrm{d}(\cos t, \sin t)=\begin{matrix}\max_{t\in[0,2\pi]} |\cos t-\sin t|\end{matrix} \) a \(\displaystyle t=0 \) le due funzioni distano \(\displaystyle r=1 \); perché è sbagliato prendere questo valore? Edit: forse perché essendo l'intorno sferico aperto devo scegliere \(\displaystyle r=1+\epsilon \) per includere entrambi i grafici in ogni punto dell'intervallo?
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Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda killing_buddha » 12/08/2018, 22:22

Anche se non l'hai detto, deduco che $C(I)$ ha la norma \(d(f,g) = \max_{t\in I} |f(t) - g(t)|\). Se è così, il minimo che cerchi al punto ii non esiste, mi sembra, perché chiaramente \(d(\cos,\sin)=1\), e quindi \(\cos \in B(\sin, 1+\alpha[\) per ogni $\alpha > 0$.
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Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 07:45

Concordo con quanto dite ma non con la distanza, non dovrebbe essere \( d( \cos, \sin) = \sqrt{2} \) ?
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