Massimi e minimi vincolati

Messaggioda Valchiria » 19/08/2018, 21:56

Devo determinare i massimi e minimi assoluti di

$f(x,y)=|x|^(1/4)+|y|^(1/4)$ nell'insieme ${(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=2}$

Ho cosiderato prima gli eventuali max/min interni al vicolo cioè per $x^2+y^2<2$ e ho dimostrato che c'è un minimo assoluto in $(0,0)$ nonostante lì la funzione non sia differenziabile, ora devo valutare cosa succede sulla frontiera,cioè $x^2+y^2=2$ ma non so come procedere perchè con i moltiplicatori di Lagrange il sistema è complicato e non saprei che parametrizzazione usare altrimenti.
Il risultato è: il massimo vale 2 ed è in $(1,+- 1)$ e $(-1,+- 1)$
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Re: Massimi e minimi vincolati

Messaggioda cooper » 19/08/2018, 23:42

secondo me qui invece la parametrizzazione è immediata: coordinate polari ($x=sqrt2 cost ^^ y =sqrt2 sint$ con $t in [0,2pi)$)
in questo modo arriviamo alla funzione composta $h(t)=root(8)(2)[root(4)(|cost|)+root(4)(|sint|)]$
a questo punto derivando e ponendo la derivata uguale a zero arriviamo ad avere che i punti stazionari per h sono tali che $cot t = +- 1$. spezzo ora i casi:
1. $cot t=1 rArr t=pi/4 vv t=5/4pi$ e quindi otteniamo i punti stazionari per f sono $A=(1,1) ^^ B=(-1,-1)$
2. $cot t = -1 rArr t=3/4 pi vv t=7/4 pi$ da cui $C=(-1,1) ^^ D=(1,-1)$
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Re: Massimi e minimi vincolati

Messaggioda gmorkk » 19/08/2018, 23:47

Intanto dato l'insieme $A={(x,y)\in \RR: x^2+y^2=2} $ compatto, per il Teorema di Weierstrass possiamo dedurre che la funzione $f(x,y)=|x|^(1/4)+|y|^(1/4)$, ivi continua, ammette massimo e minimo.

Inoltre la funzione e' sempre positiva o nulla, quindi $0 \leq f(x,y)$ $ \forall (x,y) \in \RR$ e l'unico punto per cui si annulla e' l'origine $O(0,0)$ che dunque e' il punto di minimo assoluto per f.

Per determinare gli eventuali punti di massimo possiamo procedere in vari modi.

Ad esempio, possiamo ricavare y dall'espressione che definisce l'insieme $A$ in quanto $y=\sqrt{2-x^2}$ e quindi sostituendo nella f otteniamo una funzione in una sola variabile $f(x)=|x|^(1/4)+|\sqrt{2-x^2}|^(1/4)$.

In tutti i punti dove $x>0$ la funzione valore assoluto e' positiva e pertanto derivabile e si ha

$$\lim_ {x\rightarrow x_0} \frac{|x|^{1/4}-|x_0|^{1/4}}{x-x_0} = \lim_ {x\rightarrow x_0} \frac{x^{1/4}-x_0^{1/4}}{x-x_0}=\frac{x^{-3/4}}{4}$$ essendo $x_0>0$.

Dunque si ha

$f'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}-\frac{x}{4\sqrt{2-x^2}}$

Ponendo quindi la derivata uguale a zero si ottiene (evito di scrivere tutti i passaggi) $x^{-3/4}=\frac{x}{(2-x^2)^{7/8}}$ ossia $(2-x^2)^{7/8}=x^{7/4}$

Ovverosia $2-x^2=x^2$ la cui soluzione e' $x=1$ avendo posto $x>0$ per ipotesi e quindi $y=1$, $y=-1$.

Per $x<0$ il ragionamento e' analogo.
Ultima modifica di gmorkk il 21/08/2018, 12:03, modificato 1 volta in totale.
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Re: Massimi e minimi vincolati

Messaggioda feddy » 20/08/2018, 08:25

gmorkk ha scritto:[...] per il Teorema di Weierstrass possiamo dedurre che la funzione $f(x,y)=|x|^14+|y|^14$, ivi continua, ammette massimo e minimo assoluti
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Re: Massimi e minimi vincolati

Messaggioda Valchiria » 20/08/2018, 09:27

Grazie mille ad entrambi
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