Dubbio sul differenziale

[vastità]

L'applicazione $df(x_0)$ è semplicemente la moltiplicazione per $f'(x_0)$ e mette in risalto che $\Delta f = f(x_0+h)-f(x_0)$ può essere approssimato da una funzione lineare in h a meno di un infinitesimo di ordine superiore ad h (inoltre questa nozione sarà utile per estendere il calcolo differenziale in più variabili).

Penso che questa affermazione mi sarà utile approfondendo oltre, però posso affermare di aver capito. O per lo meno, mi pare.

Grazie

Non confondere le variabili mute e quelle libere. Non puoi portare fuori la \(h\) dall'operazione di limite, se è una variabile muta:
\[
\tag{SENZA SENSO}

L'unica cosa che mi rimane dubbia è questa, non ho capito il passaggio in cui la notavi. Non mi pareva di aver svolto questo

Mi intrometto perché quel passaggio del Pagani-Salsa mi ha sempre destato sospetto e preoccupazione. Quella di @dissonance mi sembra la prima spiegazione plausibile che leggo, ma allora perché poi dicono che l'invarianza non vale per il differenziale secondo? E in che senso sarebbe "facile" da verificare?

Figurati, sono contento che la discussione sia servita ad altri

[dissonance]

[...]
allora il differenziale
$f'(x_0)*h, h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
[...]

Ecco qua

A membro destro compare \(\lim_{h\to 0}\), quindi \(h\) è una variabile muta, ma poi c'è anche una \(h\) fuori dal limite. Infine c'è anche un ridondante \(h\to 0\). Questa formula non ha senso.

[vastità]

Però per definizione f '(x) non è quel rapporto incrementale al limite? Mi sembra di aver fatto una semplice sostituzione come passaggio.

[dissonance]

Contesto proprio la scrittura. Quella formula non significa niente.

[vastità]

Capito, grazie

[dissonance]

Mi intrometto perché quel passaggio del Pagani-Salsa mi ha sempre destato sospetto e preoccupazione. Quella di @dissonance mi sembra la prima spiegazione plausibile che leggo, ma allora perché poi dicono che l'invarianza non vale per il differenziale secondo? E in che senso sarebbe "facile" da verificare?

Avrebbero fatto meglio a non scriverlo, su questo sono d'accordo. Comunque, la cosa è questa. Se \(f\) è una funzione su \(\mathbb R^n\), allora per qualsiasi sistema di coordinate \((x^1, x^2, \ldots, x^n)\) si ha che
\[
df= \sum_{j=1}^n \frac{ \partial f}{\partial x^j} dx^j.\]
Siccome il membro destro di questa equazione ha sempre la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate, gli autori se ne escono con questa "invarianza di forma", che probabilmente sarà un gergo della geometria differenziale più vecchiotta. (Sul libro di Spivak di geometria differenziale c'è un piccolo dizionario dalla geometria differenziale classica a quella moderna).

Invece le derivate parziali non hanno la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate, si trasformano secondo la regola della catena. Quanto al differenziale secondo, esso sarebbe la matrice Hessiana. So che non ha una definizione invariante se non in corrispondenza di un punto critico, è una cosa fondamentale della cosiddetta "teoria di Morse", se ti interessa l'argomento prova a guardare sulle note di Liviu Nicolaescu: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... XlVeqZnkUR

[dissonance]

Ma non ti preoccupare, lascia perdere, non è una cosa molto importante.