semplificazione polinomio generale

[robrizio]

Salve avrei un quesito da proporre, spero sia la sezione giusta.
Io ho la seguente espressione:
$ ((a+1)^n-1)/a $

Ho osservato che per qualsiasi valore di n maggiore di 0 avrò sempre un polinomio che ha termine noto 1 e quindi va a semplificarsi con il -1 a numeratore, raccogliendo poi "a" per tutti i termini questa si semplifica con il denominatore.

allego esempio per chiarezza:

n=1 ottengo $(a+1-1)/a$ semplificando viene 1
n=2 ottengo $(a^2+2a+1-1)/a$ ==> $(a(a+2))/a$ ==> risultato a+2
n=3 ottengo $(a^3+3a^2+3a+1-1)/a$ ==> $(a(a^2+3a+3))/a$ ==> risultato $a^2+3a+3$
etc.

è possibile scrivere questa espressione in una forma semplificata?

[cooper]

non so se con "forma semplificata" intendi quello che sto per proporre e non so nemmeno se quello che sto per proporre tu l'abbia mai fatto, ma ci provo lo stesso.
la formula del binomio di Newton afferma che $(a+b)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^(n-k)b^k$
nel nostro caso $a=1 ^^ b=a$ e quindi la formula si semplifica in $(1+a)^n=sum_(k=0)^(n)((n),(k))a^k$
esplicitando il valore per $k=0$, cioè 1 otteniamo che $(1+a)^n-1=1+sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k -1=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^k$
in conclusione
$((1+a)^n -1)/a=sum_(k=1)^(n)((n),(k))a^(k-1)$
dove con $((n),(k))$ intendo il coefficiente binomiale e cioè $((n),(k))=(n!)/(k! (n-k)!)$

[teorema55]

La sezione è "Secondaria II grado", ho l'impressione, cooper, che il tuo sfoggio di teoria copia/incolla qui sia fuori luogo.

Piuttosto si può dire che, dopo i passaggi corretti e ben ragionati di robrizio, ci troveremo sempre un trinomio del tipo

$a^(n-1) + na^(n-2)+.....+n$, con $a>0$ e $n>0$, o a forme sempre più complesse (ma analoghe) all'aumentare di $n$

le quali, essendo la somma di termini positivi, è evidente che non varranno zero per alcun valore di a e di n. Ergo il polinomio non è ulteriormente scomponibile nel campo dei numeri reali.

Cordialmente.

Marco

[cooper]

La sezione è "Secondaria II grado", ho l'impressione, cooper, che il tuo sfoggio di teoria copia/incolla qui sia fuori luogo

smooth...... non avendo fatto io lo scientifico non so se l'utente stia facendo quel liceo o cosa si tratti nel programma dei 5 anni e ho pensato potessero star trattando quell'argomento, tutto qui.
se non servisse e fosse fuori programma basta ignorare il mio intervento oppure per curiosità dargli un'occhiata

[Zero87]

Quando andavo al liceo io (più di dieci anni fa), non era programma del liceo fare i coefficienti binomiali, ma non è la prima volta che li vedo nelle sezioni delle secondarie quindi può essere cambiato il programma. In fondo ho visto quesiti sulla probabilità e sulle trasformate di Laplace, argomenti che non ho mai visto alle superiori.

Sarà @robrizio a dirci se capisce la risposta, se intendeva altro e/o se ha altri dubbi.

[@melia]

In ogni caso lo avrei risolto in questo modo:
tenendo conto che $A^n-B^n=(A-B)(A^(n-1)+A^(n-2)B+.....+AB^(n-2)+B^(n-1))$ il numeratore diventa
$(a+1)^n-1=[(a+1)-1]*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]=$
$= a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1]$

Quindi
$ ((a+1)^n-1)/a =(a*[(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1])/a=$

$=(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-2)+ ... +(a+1)+1$

PS con i miei studenti dello scientifico ho fatto un po' di coefficienti binomiali che, anche se solo marginalmente, comunque rientrano nei nuovi programmi. Tuttavia vedo questo esercizio più adatto a quelli bravetti in uscita dal biennio, per questo motivo lo risolverei semplicemente con la scomposizione della differenza di potenze.

[robrizio]

Ringrazio tutti per la celere risposta, ho approfondito la risposta di Cooper e le altre e posso ritenermi soddisfatto. Ho compreso a pieno tutti i vostri consigli, effettivamente dal momento che alle superiori serie e coefficienti binomiali non si fanno di solito chiedo al moderatore se è il caso di spostare il post nella sezione giusta. Un saluto a tutti

[@melia]

Direi che visto il livello di difficoltà non molto alto, può benissimo rimanere qui. Se in seguito avrai domande più difficili sulle serie potrai postarle in Analisi.