Assi principali d'inerzia per lamina rettangolare con densità non uniforme

[tomlel]

Sia data una lamina rettangolare con densità non uniforme e dunque con baricentro diverso da centro di simmetria.
Gli assi principali d'inerzia possono essere facilmente trovati sfruttando la simmetria della figura e si intersecheranno dunque nel centro geometrico del rettangolo (che è il centro di simmetria).
Mi chiedevo se, spostando tali assi parallelamente a se stessi e mettendoli nel baricentro, essi rimangono ancora principali d'inerzia (ovvero la matrice delle inerzia è ancora diagonale).
Secondo me la terna rimane principale d'inerzia fino a quando l'origine si trova lungo uno degli assi di simmetria; quindi se il baricentro si trova lungo un asse di simmetria allora la terna rimane principale d'inerzia.
Ho provato a calcolare analiticamente il momento centrifugo ( che per una terna principale deve essere necessariamente nullo) e ho tratto queste conclusioni, sarebbe di grande aiuto una conferma.
Grazie

[Shackle]

Gli assi principali d'inerzia possono essere facilmente trovati sfruttando la simmetria della figura e si intersecheranno dunque nel centro geometrico del rettangolo (che è il centro di simmetria)

Hai appena detto che la densità non è uniforme e quindi il centro di figura non è centro di massa. Perché ora dici che determini gli assi principali di inerzia, o meglio gli assi centrali, sfruttando la simmetria della figura?
Conosci come varia la densità della lamina ? Nel caso di densità non uniforme è necessario sapere come essa varia nel corpo.
Inoltre, per ogni punto esiste una terna principale di inerzia. Quando il sistema è piano, ogni asse perpendicolare al piano è asse principale di inerzia per il punto di intersezione col piano.
Se una retta è asse principale per un dato punto e passa per il CM, essa è asse principale per tutti i suoi punti.
Questo è ciò che si può dire; se la densità non è costante, non ha senso far ricorso a simmetrie geometriche.

[tomlel]

Riguardo alla prima parte, errore mio poiché ritenevo che la determinazione degli assi principali potesse essere eseguita semplicemente tramite l'individuazione di una o più simmetrie all'interno della figura e dunque indipendentemente dal fatto che la densità fosse uniforme o meno.
La densità non è data ma, non conoscendo il suo andamento, si può ipotizzare di conoscere già la posizione del CM.
Dunque, ritenendo di aver già trovato una terna principale rispetto ad un generico punto O e che un asse di questa terna passi per il CM, è possibile traslare la terna lungo questo asse fino a far coincidere l'origine con il CM e definire questa nuova terna ancora principale d'inerzia?
Quando dico "traslare" intendo spostare rigidamente la terna senza compiere rotazioni degli assi.
Come da te scritto, almeno due dei tre assi sono principali d'inerzia in quanto uno è perpendicolare al piano del rettangolo e passa per il CM, mentre per l'altro non ci sono problemi in quanto il CM giaceva già su tale asse; il dubbio dunque sorge solo per il terzo asse.
Spero di aver esposto il problema in maniera chiara.
Ti ringrazio per l'aiuto

[Shackle]

La densità non è data ma, non conoscendo il suo andamento, si può ipotizzare di conoscere già la posizione del CM.

Se lo dici tu, ok, supponiamo pure di aver trovato in qualche modo la posizione del CM. Per es. , un metodo sperimentale potrebbe essere quello di sospendere la lamina con un filo, attaccato in due punti diversi del contorno: il punto di incontro delle due verticali dà la posizione del CM .

ritenendo di aver già trovato una terna principale rispetto ad un generico punto O e che un asse di questa terna passi per il CM, è possibile traslare la terna lungo questo asse fino a far coincidere l'origine con il CM e definire questa nuova terna ancora principale d'inerzia?

Ti ho già risposto. Se in un punto O hai un asse principale che passa per il CM , un teorema di geometria delle masse dice che questo asse è principale per tutti i suoi punti. Quindi in particolare lo è per il CM. Quindi la risposta è affermativa, poiché questo asse eè anche centrale di inerzia. Il terzo asse centrale è parallelo al terzo asse della terna che avevi in O. Ovviamente il secondo è perpendicolare al piano.

[tomlel]

Perfetto, ti ringrazio per le risposte esaurienti e precise.