Sottogruppo normale

[Alin]

In $S_4$ se considero il sottogruppo $H $ $ <(12)(34),(13)(24) > = { e, (12 )(34),(13 )(24),(14 )(23)} $ come posso fare per dimostrare che si tratta di un sottogruppo normale utilizzando un omomorfismo.




Io sono arrivato a questo, basandomi sulla definizione del $Kern$ di un gruppo
$pi(e) = eH = e$
$pi(12)(34) = (12)(34)H = e$
$pi(13)(24) = (13)(24)H = e$
$pi(14)(23) = (14)(23)H = e$
Ne segue che il $Ker(pi)= H$
Grazie

[vict85]

Ci sono modi più facili per dimostrare che quel particolare sottogruppo è normale. Generalmente usi quel teorema quando il sottogruppo \(H\) è effettivamente definito come il \(\ker f\) di un omomorfismo. Per esempio, lo puoi usare per \(A_n\lhd S_n\).
E' probabilmente possibile trovare l'omomorfismo in questione ragionando sul significato geometrico dei due sottogruppi, ma non lo trovo una cosa immediata.

[Alin]

Ti riferivi per caso, per esempio:
dato $g in G$ faccio vedere che $gHg^(-1)=H$. Dal momento che $g$ é stato scelto arbitrariamente non importa farlo vedere con
tutti i $g in G$ É cosí?
Riguardo ad $A_n$ non arrivo subito a dire che si tratta di un sottogruppo normale di $S_n$ perché ha indice 2.
Comunque, come fare, in questo caso, per vedere che si tratta di un gruppo normale usando l'omomorfismo.
Mi puoi dare uno spunto, poi lo guardo meglio.
Grazie tante,

[Cantor99]

Nel caso specifico di $H$ puoi far vedere che è unione di due classi di coniugio, rispettivamente ${1}$ e ${(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$

[dan95]

Esiste un criterio che vale per tutti i gruppi abbastanza usato nel caso dei gruppi simmetrici $S_n$ (quello citato da Cantor99 )

Un sottogruppo è normale se e solo se è unione delle classi di coniugio dei suoi elementi.

Per i gruppi simmetrici è relativamente facile trovare le classi di coniugio basta cercare le permutazioni con stessa struttura ciclica.

[Alin]

A tal proposito faccio un esempio per cercare di capire meglio:
$1)$
considero il sottogruppo $G$ di $S_15$ :  $G=<γσγ^(−1),γ∈S15,σ=
(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) >$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $ A_15$ .

La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ e ha ordine $151351200$ mentre $ordA_15=653837184000$
Ebbene $C_o(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_n$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.

$2)$
Comunque l'unione di classi di coniugio deve essere un d visore del gruppo di partenza per essere considerata
sottogruppo normale
Cosa ne pensate!
Grazie

[dan95]

Sicuro che quell'elemento ha quell'ordine?

[j18eos]

...E' probabilmente possibile trovare l'omomorfismo in questione ragionando sul significato geometrico dei due sottogruppi, ma non lo trovo una cosa immediata.

Sono d'accordo anch'io; per ciò, propongo di dimostrare che la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\) sull'insieme quoziente \(\displaystyle\mathrm{Alt}4/V_4\) è effettivamente un omomorfismo di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).

La relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\).

[Alin]

Andiamo con calma, non voglio fare confusione. Intanto grazie.
Allora, la classe di coniugio di $G= <γσγ−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) $ non é data da $(15!)/(4^1*1!*3^2*2!*1^5*5!)$

[dan95]

Scusa io intendevo l'ordine di $\sigma$ avevo letto male... .