Dubbio riguardante numeri complessi

[kuppe35]

Salve a tutti, vedendo gli appunti scritti dal prof mi domandavo se è corretta questa scrittura :
Se $ Z=1/(a+ib) $ allora il modulo di Z é $ abs(Z)=1/(sqrt(a^2+b^2) $
Così è quello che ha scritto il prof...
Grazie a chiunque chiarisca questo dubbio (magari spiegandomi perchè si può fare cosi senza passare per razionalizzazioni XD)

Moderatore: Martino

Evitare il maiuscolo, grazie.

[Cantor99]

Se $z\in CC$ e $z!=0$, si ha $|\frac{1}{z}|=\frac{1}{|z|}$

Dunque,
$|Z|=|\frac{1}{a+bi}|=\frac{1}{|a+bi|}=\frac{1}{sqrt(a^2+b^2)}$

[kuppe35]

grazie, ora ho capito.. per quanto riguardo la fase di Z invece, come si fa in questo caso ?

[Cantor99]

Riscriviamo
$\frac{1}{Z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{1*(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i=\frac{1}{sqrt(a^2+b^2)}[\frac{a}{sqrt(a^2+b^2)}+\frac{-b}{sqrt(a^2+b^2)}i]$

Ora se ci fai caso, il coseno della fase di $\frac{1}{Z}$ è lo stesso di $Z$ mentre il seno è l'opposto, quindi la fase di $\frac{1}{Z}$ è l'opposta di $Z$

[kuppe35]

ok, quindi se la fase di $ Z=arctan(b/a) $ la fase di $ 1/Z =arctan(-b/a) =-arctan(b/a) $ , giusto ?

[Cantor99]

Giusto. In ogni caso, per quanto riguarda la fase, non basta applicare direttamente $arctan(\frac{b}{a})$ e a volte è necessario scriverla in $[-\pi,\pi]$ o in $[0,2\pi]$

Ti segnalo la pagina wiki
https://it.wikipedia.org/wiki/Inverso_d ... _complesso

[kuppe35]

ok grazie. Dici che per la fase non basta applicare sempre $ arctan(b/a) $ perchè vale solo per $ a>0 $ ?

[Cantor99]

sì, pensa a $Z=-3-3i$ per cui, applicando la "tua" formula, hai $\theta=\frac{\pi}{4}$ quando invece deve risultate $\theta=\frac{5}{4}\pi$ - se lavori in $[0,2\pi]$.

Più che usare quella formula, direi che forse è meglio valutare separatamente il seno e il coseno. Poi un disegno veloce nel piano di Gauss può aiutare ancora di più

[kuppe35]

grazie di tutto