killing_buddha ha scritto:Semplicemente, fissato $ x $ e la sua immagine $ \sigma(x) $, $ \sigma|_{I\setminus\{x\}} $ si identifica in modo ovvio a una permutazione di $ n-1 $ elementi (esattamente quelli di \( I\setminus\{x\} \)). Con un insieme infinito è più complicato, detta brevemente.
Sì, mi ha senso
.
Credo che il secondo problema spunti fuori dal fatto che non sto studiando i gruppi "ufficialmente", in maniera sistematica, ma mi baso su ciò che trovo in un testo di geometria: sono interessato principalmente a rivederla, mediante l'applicazione di cose di algebra questa volta.
Nella definizione che possiedo, un'azione di un gruppo \(G\) in un insieme \(E\) è un'applicazione \(G\times E\to E\) che mappa una coppia \((g,x)\) con l'immagine \(\rho(g)(x)\in E\) dove \(\rho\) è una rappresentazione \(\in\operatorname{Hom}(G,\mathfrak{S}(E))\).
Con questa def per le mani, mi sembra lecito chiedermi, nel caso in cui si parli di azione di un gruppo su qualcosa, quale sia la rappresentazione utilizzata: nell'esempio precedente, se dovessi descrivere l'azione del gruppo \(S\) delle trasformazioni affini \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) su \(\mathbb{R}\) stesso, essa sarebbe l'applicazione \(S\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) che mappa una coppia \(f_{a,b},x\) con l'immagine \(\rho(f_{a,b})(x)\) di una rappresentazione \(\rho\in\operatorname{Hom}(S,\mathfrak{S}(\mathbb{R}))\). Ciò che mi viene spontaneo pensare (ma forse non c'è nessun motivo per cui dovrei farlo) è che in questo caso \(\rho = 1_{\mathfrak{S}(\mathbb{R})}\), ristretta nel dominio a \(S\).
Il primo risultato su google ha scritto:To give an action of \(G\) on \(X\) is equivalent to giving a group homomorphism from \(G\) to the group of bijections of \(X\)
Che però mi fa pensare di avere semplicemente frainteso la definizione, perché effettivamente la rappresentazione \(\in\operatorname{Hom}(G,\mathfrak{S}(X))\) non è un prerequisito necessario per parlare di azione, ma può essere "ricostruita" da essa.
killing_buddha ha scritto:un'azione è un omomorfismo da \(G\) verso \(\operatorname{Aut}(X)\), oppure una funzione \(G\times X\to X\) tale che blah blah.
Ha senso parlare del gruppo degli automorfismi di un insieme qualunque?