Anzitutto c'è un refuso, $Z$ non esiste, deve essere una $Y$. Poi. Basta usare che $X,Y$ sono derivazioni, sull'espressione
\[
[fX,gY](z) = fX(g.Y(z)) - g.Y(fX(z)) = f.X(g)Y(z)+fg.X(Y(z)) - \dots
\] (se metto un punto, sto usando la struttura di $C^\infty(M)$-modulo di $\mathfrak X(M)$; se metto le parentesi, sto usando il fatto che $\mathfrak X(M)\cong \text{Der}(M)$ è lo spazio delle derivazioni $TM\to RR$.