Condizione di vincolo qualificato

[mobley]

A lezione ci fu detto che per poter applicare la condizione dell'Hessiano orlato bisogna prima verificare che il vincolo sia qualificato. Per farlo, ci fu detto che deve valere la relazione $ R(gradg(barx))=k $ dove $k$ è il numero di vincoli esistenti e $gradg(barx)!=bar(0)$. Se non erro ci venne altresì accennato il motivo per cui il punto $(0,0)$ non sarebbe da considerarsi per definizione appartenente al dominio del vincolo, rimandando al teorema del Dini, ma senza entrare nel dettaglio.
Ora vi chiedo:
- il punto $(0,0)$ è effettivamente escluso dal dominio del vincolo? Ad es. dati $f(x,y)=(x-1)^2+(x-y)^2$ e vincolo $g(x,y)=xy-1/2y^2+1=0$, definiti entrambi in $R^2$, si ha una condizione di vincolo qualificato $R([ ( y ),( x-y ) ])=1$ che non è verificata per $(x,y)=(0,0)$: posso concludere che siccome $(0,0)$ non appartiene al dominio di $g$ il vincolo è qualificato per ogni $(x,y) in R$?
- sapreste spiegarmi la ragione di tale esclusione? Ovvero, brevemente, il teorema del Dini?

[gugo82]

$(0,0)$ non sta su $g(x,y)=0$, quindi che ti importa di imporre qualche condizione in tale punto?

Per il resto, il Teorema del Dini ti fornisce una condizione sufficiente ad esplicitare il vincolo $g(x,y)=0$ rispetto ad una delle due variabili, i.e. che il rango del gradiente sia massimo, intorno al punto stazionario che stai considerando.
Per dire come legare questa informazione con quello che ti hanno spiegato sulla risolubilità dei problemi di estremo vincolato, ci sarebbe da capire cosa ti hanno detto in merito.

[mobley]

$(0,0)$ non sta su $g(x,y)=0$, quindi che ti importa di imporre qualche condizione in tale punto?

Per il resto, il Teorema del Dini ti fornisce una condizione sufficiente ad esplicitare il vincolo $g(x,y)=0$ rispetto ad una delle due variabili, i.e. che il rango del gradiente sia massimo, intorno al punto stazionario che stai considerando.
Per dire come legare questa informazione con quello che ti hanno spiegato sulla risolubilità dei problemi di estremo vincolato, ci sarebbe da capire cosa ti hanno detto in merito.

Grazie per la risposta. Questo è tutto ciò che ci è stato detto a lezione in merito:




Come puoi vedere si tratta soltanto di un accenno, il quale peraltro non mi sembra spieghi in modo chiarissimo il motivo per cui il punto $(0,0)$ non apparterebbe al dominio di $g(x,y) in R$. Ecco perché ho riportato l'esempio. Ok che in quel caso l'origine non soddisfa la condizione di vincolo qualificato ma in ogni caso essa non rientrerebbe nel dominio del vincolo dovendo valere $ grad(g(bar(x)))!=bar(0) $: sarebbe corretto quindi concludere che la condizione è comunque verificata $AA(x,y)$?