milos144 ha scritto:Scusate se insisto!
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.
Gli omomorfismi \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) corrispondono (primo teorema di isomorfismo) agli omomorfismi \(\mathbb Q \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) il cui nucleo contiene \(\mathbb Z\); per trovarne uno di non iniettivo ti basta allora trovarne uno, diciamo $f$, il cui nucleo contiene \(\mathbb{Z}\)
propriamente: è uno dei \(\varphi_n\)? E se no, un tale $f$ esiste?
Per chi vuole pensare: a cosa è isomorfo il gruppo \(\hom(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\)? E a cosa corrispondono i $\varphi_n$?
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)