determinare la forma algebrica delle soluzioni complesse

[hi93]

Ciao a tutti.
Come da titolo dovrei determinare la forma algebrica delle soluzioni complesse

$ z^2|z|+ 4i√3 = 4 $

come dovrei procedere?
Io ho tentato di usare z=a+ib e sostituire, arrivo però ad un sistema un poco incasinato...
HELP

[anto_zoolander]

Ciao!

si potrebbe usare qualche forma alternativa, tipo..

$z^2|z|=4(1-i sqrt3)$

puoi porre $z=re^(itheta)$ ottenendo

$z^2=r^2e^(i2theta)$ e $|z|=r$

quindi $r^3e^(i2theta)=4(1-isqrt3)=8(1/2-isqrt3/2)=8e^(- i pi/3)$

da cui $r^3=8 => r=2$ e $e^(i2theta)=e^(-i pi/3)$

$2theta=-pi/3+2kpi => theta=-pi/6+kpi$ e tolte tutte quelle ottenute per multipli di $2pi$ si otterrebbero le soluzioni

$(2,-pi/6)$ e $(2,(5pi)/6)$

ovvero i numeri

$z=2(sqrt3/2-i 1/2)=sqrt3-i$

$z=2(-sqrt3/2+i 1/2)=-sqrt3+i$

[hi93]

Ciao grazie per la risposta. Avevo ipotizzato la forma esponenziale ma non avendola mai utilizzata a lezione (solo vista di sfuggita) non credo il Professore voglia farmi risolvere l'esercizio in questo modo.

[dissonance]

il Professore

mi sembra un po' esagerata questa maiuscola

[@melia]

Ciao grazie per la risposta. Avevo ipotizzato la forma esponenziale ma non avendola mai utilizzata a lezione (solo vista di sfuggita) non credo il Professore voglia farmi risolvere l'esercizio in questo modo.

E allora fermati alla forma goniometrica, la scrittura è solo un po' meno compatta ed elegante di quella esponenziale, ma funziona comunque.

[gugo82]

Per ovviare al problema puoi ragionare come segue.

Passando ai moduli la tua equazione diventa:
\[
|z|^3 = |4 - i 4\sqrt{3}|
\]
ossia:
\[
|z|^3 = 8\; ,
\]
che fornisce $|z|=2$.
D'altra parte, passando agli argomenti trovi:
\[
\operatorname{arg}(z^2) + \operatorname{arg}(|z|) = \operatorname{Arg} (4-i 4\sqrt{3}) + 2 k \pi
\]
da cui deriva:
\[
2 \operatorname{arg}(z) = -\frac{\pi}{3} +2k \pi\;,
\]
ossia \(\operatorname{arg}(z)=-\frac{\pi}{6} +k\pi\) con $k in ZZ$. Chiaramente, le uniche due determinazioni dell'argomento che individuano numeri distinti sono quelle che si ottengono, ad esempio, per $k=0$ e $k=1$.

Dunque le soluzioni sono quelle determinate già per altra via da anto_zoolander.

[pilloeffe]

Ciao hi93,

Beh, anche come avevi pensato tu inizialmente non mi pare impossibile, c'è solo da ragionare un po'...
Sostituendo $z = x + iy $ nell'equazione

$ z^2|z|=4(1-i sqrt3) $

Si ottiene:

$(x^2 - y^2 + 2ixy)\sqrt{x^2 + y^2} = 4 - i\cdot 4 \sqrt{3} $

Eguagliando le parti reali e le parti immaginarie si ha:

$ \{((x^2 - y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 4),(2xy \sqrt{x^2 + y^2} = - 4 \sqrt{3}) :} $

$ \{((x^2 - y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 4),(xy \sqrt{x^2 + y^2} = - 2 \sqrt{3}) :} $

Si vede quasi subito che affinché la seconda equazione sia soddisfatta $x $ e $y $ devono essere discordi, e siccome ci sono in ballo dei quadrati, ma deve essere $x^2 - y^2 > 0 \implies |x| > |y| $ perché sia soddisfatta la prima equazione, le uniche possibilità sono le seguenti:

$x_1 = \sqrt{3}, y_1 = - 1 $ e $x_2 = - \sqrt{3}, y_2 = 1 $

Quindi le soluzioni, come già scritto da anto_zoolander e da gugo82, sono le seguenti:

$z_1 = x_1 + iy_1 = \sqrt{3} - i $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - \sqrt{3} + i $