Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 23/09/2018, 18:31

Stavo pensando a cosa cambia nel passaggio a \(\displaystyle \mathbb{C}^k\). Per quanto sia poco ferrato in analisi complessa, mi sembra ci sia questo ostacolo: la funzione modulo è olomorfa solo nell'origine. Quindi mi crea disagio il passaggio \( \nabla\left(\sum_{i=1}|z_i|^2\right) \). Come lo sbrigo?
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 23/09/2018, 19:10

Lo sbrighi facendo attenzione a quello che fai: le derivate qui sono reali, come tu stesso hai sottolineato. Infatti, se ci fai caso, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è un metodo reale. Quindi la prima cosa da fare è riscrivere tutto in termini di parte reale e parte immaginaria (\(z_i=x_i+iy_i\)), mettendosi in \(\mathbb R^{2k}\).
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 23/09/2018, 22:42

Allora dato \(\displaystyle \mathbf{z}=\mathbf{x}+i\mathbf{y} \) provo così: \[ \displaystyle \nabla\left(\sum_{i=1}|z_i|^2\right)= \mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k (x_i^2+y_i^2)\right)=\mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k ((x_i-1)+iy_i)\right)=\mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k z_i-1\right), \] di cui considero prima la parte reale, poi la parte immaginaria. Facendo le derivate rispetto a $x_n$ mi riconduco al caso reale; facendo le derivate rispetto a $y_n$ ottengo invece \[\displaystyle y_n=\frac{\mu k}{2}=1. \] Quindi non essendoci nessuna condizione sulle \(\displaystyle y_i \) l'ennesima componente di \(\displaystyle \mathbf{z} \) si scrive \(\displaystyle x_n+iy_n=\frac{1}{k}+i \), ovvero \[\displaystyle \mathbf{z}=\left(\frac{1}{k}+i,\frac{1}{k}+i,\frac{1}{k}+i,...\right). \] E questo dovrebbe essere (finalmente) il vettore che minimizza la norma in $mathbb(C)^k$.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 24/09/2018, 05:52

Peccato che quel vettore non appartiene al tuo insieme. Hai provato a calcolare la somma delle sue componenti? Fa forse 1?
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 24/09/2018, 12:21

No, certo, ho dimenticato la condizione sulle \(\displaystyle y_i \)... comunque ricapitoliamo un attimo che questa cosa dei moltiplicatori nello spazio complesso la voglio capire per bene.

Il mio dubbio sta nel capire quando separare le componenti reali e quelle immaginarie. In pratica bisogna considerare separatamente i due vettori \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^k \) e usare il metodo per ciascuno di questi, con i vincoli rispettivi? In questo caso, \(\displaystyle \mu=\mu_1+i\mu_2 \) va trattato come un numero complesso, no? E nel primo caso ne considero la parte reale, nel secondo quella immaginaria.

Quindi, \(\displaystyle \mathbf{x} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_1 \) e il vincolo \(g_1=\Re\sum^k z_i=\sum^k x_i=1 \), mentre \(\mathbf{y} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_2 \) e il vincolo \(g_2=\Im\sum^k z_i=\sum^k y_i=0 \). Quello che è in comune è ovviamente la funzione norma $f$. Quindi considero due funzioni lagrangiane distinte, \(\mathcal{L}_1=f-\mu_1g_1 \) e \(\displaystyle \mathcal{L}_2=f-\mu_2g_2 \), e ne faccio i gradienti rispettivamente rispetto alle componenti $x_i$ e a quelle \(\displaystyle y_i \), per ottenere in totale \(\displaystyle 2k+2 \) equazioni.

E' il procedimento corretto?
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 24/09/2018, 12:27

Si, mi pare tu abbia ragione, i vincoli sono due e ci vogliono due moltiplicatori.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 24/09/2018, 18:10

Va bene, quindi per \(\displaystyle \mathbf{x} \) il procedimento è identico a quello dell'altro post, mentre per \(\displaystyle \mathbf{y} \) la differenza è che essendo \(\displaystyle \mu_2=0 \) anche \(\displaystyle y_i=0 \) per ogni $i$. Quindi in realtà anche il risultato nel caso complesso è identico a quello reale... mi sto sbagliando ancora? :?
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 24/09/2018, 19:05

E perché ti sorprende? Se aggiungi una parte immaginaria ai vettori del tuo insieme convesso, la norma aumenta. Ecco perché quando minimizzi trovi lo stesso risultato che nel caso reale.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 24/09/2018, 20:54

Se la metti giù così la rendi imbarazzantemente ovvia :-D diciamo che lo trovo comunque un po' anticlimatico.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 25/09/2018, 07:58

Lèo ha scritto: lo trovo comunque un po' anticlimatico.

:D

Comunque, l'esercizio è finito: =D>
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