per il punto 2, quando $|a|>=1$ io vedo due comportamenti
$ lim_(n) \varphi(t)={(0,if t!=0),(1,if t=0):} $. poichè è discontinua concludiamo sempre per Lévy che non vi è convergenza.
spero di far bene gli altri due punti, adesso
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3. chiamo $S:=(X_n)/(sqrtn)$
$\varphi_(S)(t)=\varphi_(X_n)(t/sqrtn)=exp{-t^2/(2n)sum_(i=0)^(n)a^(2i)}$
se $|a|<1$ questa tende ad 1, che è la funzione caratteristica di 0. quindi si ha convergenza in legge ed in probabilità (perchè costante) a 0. con lo stesso ragionamento di prima concludo invece che non si ha convergenza per $|a|>=1$
$E[|S|^p]=1/n^(p/2)E[X_n^p]->0, AAp>=1$ in quanto i momenti di una gaussiana sono finiti.
per la convergenza quasi certa invece stimo la serie $sum_n P(X_n >epsilon sqrtn)$. anzitutto standardizzo ed applico poi
questa maggiorazione così da avere
$sum_n P(X_n >sqrtn epsilon) = sum_n 1-Phi(n^(3/2)epsilon (1-a^2)) <= sum_n 1/(2pi epsilon (1-a^2))1/sqrtn e^(-(epsilon^2 (1-a^2)^2)/2 n^3)$ che risulta convergente per via dell'esponenziale e quindi la convergenza è anche quasi certa.
4.questo in realtà l'avrei risolto con gli stessi argomenti e le stesse conclusioni del punto 3.