Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda Livius » 25/09/2018, 07:01

Al primo corso di Analisi, si studiava il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa, che poteva iniziare col dire così: se $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ è biunivoca e derivabile in $x_0 \in \mathbb R$ con $f'(x_0)\ne 0$ allora anche l'inversa è derivabile nel punto $y_0 =f(x_0)$, e si dava la nota formula che è superfluo riportare qua. Ma poi mi imbatto in questo http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... v-disc.pdf , esiste cioè una funzione biunivoca e derivabile in un punto con derivata diversa da zero la cui inversa è discontinua nel punto corrispondente, possibile? Come si spiega la cosa nel cotesto teorico, sapete dirmi dov'è l'inghippo se c'è ?
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Messaggioda j18eos » 25/09/2018, 08:44

Il suddetto teorema chiede che \(\displaystyle f\) sia continua con la sua derivata! ;)

...e non credo di ricordare male. :-D
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda dissonance » 25/09/2018, 09:33

Armando si riferisce al caso generale, multidimensionale. In dimensione uno si può fare a meno dell'ipotesi di continuità della derivata. Però, quello di cui non si può proprio fare a meno è che la derivata esista in tutto un intervallo, un punto solo non significa niente.

P.S.: In realtà, anche nel caso multidimensionale si può fare a meno della continuità della derivata, ma la funzione deve comunque essere differenziabile su tutto un aperto:

https://terrytao.wordpress.com/2011/09/ ... able-maps/
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Una delle mie perle...

Messaggioda j18eos » 25/09/2018, 12:39

Interessanti generalizzazioni...
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
dissonance ha scritto:Armando si riferisce al caso generale, multidimensionale...
Se per "multidimensionale" intendi "(spazio) infinitodimensionale (di Banach)": allora sì, è vero!
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda Livius » 26/09/2018, 02:39

Ma io volevo partire, almeno inizialmente, dal caso più semplice: le funzioni di una variabile reale dove e solo qui differenziabilità e derivabilità coincidono. Le dimostrazioni del suddetto teorema che si trovano in tutti i manuali del primo anno di Analisi, nella loro semplicità sembrano però fare a meno dell'ulteriore ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto del punto, ma forse sarò io che mi sbaglio, e adesso controllerò meglio. Però poi mi sono imbattuto su questo (vedere solo la prima pagina e mezza, non sono riuscito a togliere il resto) http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/030 ... ni2324.pdf e vedo che l'ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto può essere sostituita con la molto più debole: "continuità di $f$ in un intorno del punto" (nel caso più complesso di più variabili reali non so se resta vero); ma continuo a non capire, nel senso che nella dimostrazione del teorema per una variabile non vedo come intervengano l'una o l'altra delle ulteriori ipotesi,mi sembrano superflue cioè, ma il limite evidentemente è solo mio.
Ultima modifica di Livius il 26/09/2018, 02:48, modificato 1 volta in totale.
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda Livius » 26/09/2018, 02:44

ma la funzione deve comunque essere differenziabile su tutto un aperto: forse no, basterebbe la continuità
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda dissonance » 26/09/2018, 08:10

Livius ha scritto:Ma io volevo partire, almeno inizialmente, dal caso più semplice: le funzioni di una variabile reale dove e solo qui differenziabilità e derivabilità coincidono.
Certamente. Infatti io parlavo di "differenziabilità" ma non è un fatto importante, era solo per consistenza con il caso più generale. D'ora in poi consideriamo funzioni di una sola variabile e parliamo della loro "derivabilità", così non ci confondiamo.
Le dimostrazioni del suddetto teorema che si trovano in tutti i manuali del primo anno di Analisi, nella loro semplicità sembrano però fare a meno dell'ulteriore ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto del punto,

E forse sono io che sbaglio allora, ti confesso che sono andato un po' a naso e non mi sono messo a vedere i dettagli. (NOTA. La derivabilità è una cosa utile solo quando esiste in tutto un intervallo, perché tutti i teoremi principali richiedono questa ipotesi. È il caso del teorema di Rolle, e quindi dei vari Lagrange, l'Hôpital, etc..., che da esso discendono. Anche la formula fondamentale del calcolo richiede la derivabilità in tutto un intervallo. )


ma forse sarò io che mi sbaglio, e adesso controllerò meglio. Però poi mi sono imbattuto su questo (vedere solo la prima pagina e mezza, non sono riuscito a togliere il resto) http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/030 ... ni2324.pdf e vedo che l'ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto può essere sostituita con la molto più debole: "continuità di $f$ in un intorno del punto" (nel caso più complesso di più variabili reali non so se resta vero);

Lasciamo stare il caso di più variabili, che è più difficile (e interessante, ma se vuoi ne riparliamo in un altro topic). Ho letto il pdf. Nota bene che si richiede a priori che \(f\) sia invertibile. Ma verificare che una funzione sia invertibile è proprio la cosa più difficile. Quindi, il teorema è vero, ma inutile, in quella forma. Se vogliamo un teorema utile dobbiamo enunciarlo così:

Teorema. Sia \(f\colon (a, b)\to \mathbb R\) una funzione derivabile in tutto l'intervallo \((a, b)\). Se \(f'(x)\ne 0\) per ogni \(x\in (a, b)\), allora \(f\) è invertibile. Se \(g=f^{-1}\) e \(y_0=f(x_0)\) allora
\[
\frac{dg}{dy}(y_0)=\left( \frac{df}{dx}(x_0)\right)^{-1}.\]

Qui l'invertibilità di \(f\) è parte della tesi, non delle ipotesi.
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda Livius » 27/09/2018, 14:59

Però quello che a me interessava è la questione logica che ne esce fuori: una funzione di una variabile reale che con le ipotesi di invertibilità e derivata diversa da zero in un punto, sembrano essere sufficienti per l'esistenza della derivata dell'inversa nel corrispondente punto; però poi c'è un esempio concreto di funzione con le stesse caratteristiche che non solo non è derivabile nel punto corrispondente, ma è addirittura discontinua, contraddizione ? Ecco, per esplorare "la logicità della cosa" spesso e volentieri tocca sviscerare il dettaglio! Una possibile risposta, forse potrebbe essere che il teorema della continuità della funzione inversa (di una variabile reale, definita su un intervallo e invertibile: se continua in tutto l'intervallo lo è anche l'inversa nell'intervallo corrispondente) valga solo per intervalli (non degeneri) e basta. Ma ho ancora dei dubbi, resto perplesso.
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda dissonance » 27/09/2018, 22:30

Il busillis sicuramente starà nel fatto che la funzione di Gilardi non è continua in un intorno del punto di derivabilità.
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Re: Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

Messaggioda Livius » 28/09/2018, 08:23

E' l'unica, ma resto comunque perplesso. La continuità nell'intorno del punto di derivabilità si dà come ipotesi, ma poi nella dimostrazione effettiva non viene usata. Forse l'uso è talmente sottile ed implicito che io non lo colgo, può essere, non dico di no.
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