Un dodecagono

[axpgn]

Un poligono convesso di dodici lati è inscritto in un cerchio.
Ha sei lati lunghi $sqrt(2)$ e sei lati lunghi $sqrt(24)$, disposti in ordine qualsiasi.
Quant'è il raggio?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Il raggio richiesto viene ...

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$sqrt38$

Discussione
Diciamo, in generale, a e b le lunghezze di lati di diversa lunghezza.
Mettendo i lati alternativamente, i vetici alterni sono quelli di un esagono regolare.
La somma degli angoli al centro di due lati di diversa lunghezza è un sesto di angolo giro.
Con i lati disposti alternativamente tutti i 12 angoli sono uguale e ciascuno vale $(12-2)·(π/12) = 5π/6 =150°$.
Siano α e β gli angoli al centro di due lati di lunghezza diversa, (per cui α + β = π/3 = 60°).
Detto x il diametro [incognito] del cerchio circoscritto si ha sùbito $a/x=sin(α/2)$ e $b/x=sin(β/2)$. E allora:
$a/xsqrt(x^2 - b^2)/x +b/xsqrt(x^2 - a^2)/x =sin(α + β)/2) = sin(π/6) =1/2$.
Da qui [razionalizzando] si ricava l'equazione $x^4-8(a^2+b^2)+16(a^4 + b^4 – a^2b^2)=0$, da cui
$x^2 = 4(a^2 + b^2) ±4sqrt3ab$.
La soluzione che va bene è $x^2 = 4(a^2 + b^2) +4sqrt3ab$, (perché l'altra corrisponde a $sin(α + β) =-1/2$).
Inserendo $(a,b) = (sqrt2, sqrt24)$ viene $a^2+b^2)=26 e $sqrt3ab=sqrt(3·sqrt48=12; e allora:
$x^2 = 4·26 +4·12 = 4·38$ ossia x = <diametro> $=2sqrt38$ –––> <raggio> =$sqrt38$

________

[axpgn]

Bravo

Volendo si può fare più brevemente (e non necessariamente con i lati alternati)

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Io l'ho fatto così, e forse è la soluzione a cui allude axpgn.

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Indicando con $2x,2y$ gli angoli al centro, ho
$6*2x+6*2y=360°->x+y=30°->y=30°-x$
Per il teorema della corda ho
${(2rsin x=sqrt2),(2rsiny=sqrt 24):}->sqrt2siny=sqrt24sinx->siny=2sqrt3 sinx$

$sin(30°-x)=2sqrt3 sinx$
$1/2cos x-sqrt3/2 sin x=2 sqrt3 sinx$
$cos x=5 sqrt3sinx->tan x=1/(5sqrt3)$
Ho poi
$sinx=(tanx)/sqrt(1+tan^2x)=...=1/(2sqrt19)$
ed in definitiva
$r=sqrt2/(2sinx)=sqrt2/(1/sqrt 19)=sqrt 38$

[axpgn]

Bravo anche tu

… ma non è la mia …

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco la mia …

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Siano $\bar(AB)$ e $\bar(BC)$ una coppia di lati adiacenti ma di lunghezza diseguale (in qualsiasi modo si dispongano i lati vi sono almeno due coppie di questo tipo).

Allora l'arco $AC$ è pari a $60°$ ($6l+6L=360°\ ->\ l+L=60°$)

Di conseguenza il segmento $\bar(AC)$ è pari al raggio cercato (triangolo equilatero $AOC$ dove $O$ è il centro del cerchio)

E l'angolo $A\hatBC$ è pari a $150°$ ($(360-60)/2$)

Usando Carnot otteniamo $(AC)^2=sqrt(2)^2+sqrt(24)^2-2sqrt(2)sqrt(24)(-sqrt(3)/2)=38$ da cui $r=sqrt(38)$

Cordialmente, Alex