Catene di Markov

Messaggioda Saxbenex » 10/10/2018, 15:20

Ciao a tutti!

Mi è capitato fra le meni questo quesito:

Sia $(X_n) _{n>=0} $ una catena di Markov con valori in $N$, cioe nei numeri naturali. Trovare un contro esempio alla seguente affermazione (che quindi è falsa) : $$P(X_n=i_n|X_{n-1}\ge i_{n-1})= P(X_n=i_n|X_{n-1} \ge i_{n-1}, X_{n-2}=i_{n-2} )$$

Io avrei detto che l'uguaglianza fosse vera, per la proprietà delle carte di Markov di non avere memoria..

Grazie a chiunque riesca ad aiutarmi!
Saxbenex
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 18 di 19
Iscritto il: 30/06/2017, 15:14

Re: Catene di Markov

Messaggioda arnett » 10/10/2018, 16:08

Ciao, quello non è l'enunciato della proprietà di Markov (che è altamente riduttivo classificare come "assenza di memoria").
Senza ipotesi restrittive su $i_{n-1}$ esistono controesempi facili: basta scegliere $i_{n-1}$ in maniera che $X_n\gei_{n-1}$ sia l'evento certo.
Prendi per esempio $(X_n)_{n\ge0}$ Markov con matrice di transizione uguale alla matrice identità (dell'ordine che vuoi, diciamo $k$), assumi $X_0$ distribuita come una $U{1, ..., k}$.
Ora calcola $\mathbb{P}(X_n=1|X_{n-1}\ge1)$ e $\mathbb{P}(X_n=1|X_{n-1}\ge1, X_{n-2}=2)$.
E' chiaro che la prima probabilità viene positiva mentre la seconda sempre nulla.
arnett
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 298 di 343
Iscritto il: 18/07/2018, 09:08

Re: Catene di Markov

Messaggioda Saxbenex » 11/10/2018, 09:33

Giusto, tutto chiaro. Vale anche se $X_0$ è distribuita come un vettore di tutti zeri eccetto in posizione k dove si ha 1, vero?
Saxbenex
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 19 di 19
Iscritto il: 30/06/2017, 15:14

Re: Catene di Markov

Messaggioda arnett » 11/10/2018, 10:08

Nello specifico caso in cui $i_n=1$ come distribuzione iniziale $X_0$ va bene qualsiasi distribuzione $p$ (vettore riga) con prima componente non nulla, ho scritto uniforme solo per fissare le idee.
Non vale con il vettore che dici te:$[0 0 ... 1 ... 0 0]$ o meglio vale se modifichi $i_n$ e lo chiedi non più uguale a $1$ ma uguale a $k$, è solo una questione di consistenza degli indici comunque una volta capito il senso.
arnett
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 299 di 343
Iscritto il: 18/07/2018, 09:08


Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 9 ospiti