Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme

[Valchiria]

Salve, ho svolto i seguenti esercizi, spero non sia un problema riportarli tutti insieme ma i dubbi sono un po' gli stessi per tutti e 3:

1) $fn(x) = e^(−x − n)$

(a)Studiare la convergenza puntuale della successione fn in R.
(b) Calcolare $s1 = Sup{|fn(x)| : x ≥ 0}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $[0, +∞)$.
(c) Calcolare $s2 = Sup{|fn(x)| : x < 0}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $(−∞, 0)$.
(d) Calcolare $s3 = Sup{|fn(x)| : |x| ≤ 3}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $[−3, 3]$.

a) trovo che $ lim_(n ->+ infty) e^(-n-x)=0 $ tenendo presente che se $x=+infty$ è ok, ma se $x=-infty$ ho una forma indeterminata, come tengo conto di ciò nel punto c)?

b) in $[0, +∞)$, $f(x)=0$, $f'n(x) = -e^(−x − n)$, $f'n(x)>0$ se $e^(−x − n)<0$ che non è mai verificato, la funzione è descrescente e nell'intervallo il massimo è$0$, la convergenza è uniforme.

c) come scritto prima, qui non so come ragionare dato che se $x->-infty$ ho una forma indeterminata
d) c'è convergenza uniforme perchè il massimo si ha in $x=-3$

2) $ fn(x) = (x/n)e^(-x/n)$

(a) Studiare la convergenza puntuale della successione per x ∈ R.
(b) Studiare la convergenza uniforme della successione nell’insieme $A = [0, 1]$.
(c) Studiare la convergenza uniforme della successione nell’insieme $B = [1, +∞)$

a)$ lim_(n ->+ infty) =(x/n)e^(-x/n)=0 $ perchè prevale l'esponenziale, anche qui però se $x=+infty$ o $x=-infty$ ho un'indeterminazione, devo pensare che $n->infty$, mentre se x è proprio $x=infty$ dal limite ottengo lo stesso $0$? Al numeratore ho proprio infinito, al denominatore qualcosa che tende all'infinito..?
b) valuto $Sup{|f_n| t.c. x in [0,1]}$, nell'intervallo considerato $f_n$ è positiva quindi ometto il modulo e studio
$fn(x) = (x/n)e^(-x/n)$, $f'n(x) = e^(-x/n)(1-(x/n))$ che assume massimo in $x=n$ ma $fn(n)=1/e$ e non c'è convergenza uniforme.
c) qui c'è +infinito che mi confonde per le considerazioni di prima, non so cosa concludere anche perchè il massimo sarebbe lo stesso n, quindi non c'è convergenza uniforme?

3) Sia $A = [0, ∞)$, e sia $fn : A → R$, con $n ∈ N$, la funzione

$ f_n(x)={ ( 1-nx if x in [0,1/n] ),( 0 if x notin[0,1/n] ):} $
(a) Studiare la convergenza puntuale della successione (fn) in $A$.
(b) Detto f il limite puntuale di fn, calcolare $|| fn-f ||_(infty, A)$ e studiare la convergenza uniforme di $fn$ in $A$.
(c) Dire per quali $x ∈ A$ la serie $ sum_(n=1)^(+infty)(f_n(x)) $ converge puntualmente
(d) Studiare la convergenza uniforme della serie $ sum_(n=1)^(+infty)(f_n(x)) $ in $[1/4,4]$

a) Ho che $ f(x)= 1 $ se $x=0$, ma c'è un $n$ a partire dal quale $f_n= 0$ per $x in [1/n,+infty) $ cioè $n>=1/x$
perciò $f_n(x)->f(x)=0$ puntualmente in A

Se però faccio il limite per n che va all'infinito di $f_n(x)$ ottengo $f(x)=-infty $, e ciò vale per $x!=0$, però come tengo conto di ciò?
b) la convergenza uniforme c'è in $[1/n,+infty)$ essendo $f_n$ stessa 0
c)la serie converge solo in $[1/n,+infty)$ avendo somma nulla, in $ [0,1/n] $ no perchè non è rispettata la condizione necessaria
d) essendo la somma della serie identicamente nulla..cosa devo concludere?

[Seneca]

Per il primo problema,

1) $fn(x) = e^(−x − n)$

(a)Studiare la convergenza puntuale della successione fn in R.
(b) Calcolare $s1 = Sup{|fn(x)| : x ≥ 0}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $[0, +∞)$.
(c) Calcolare $s2 = Sup{|fn(x)| : x < 0}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $(−∞, 0)$.
(d) Calcolare $s3 = Sup{|fn(x)| : |x| ≤ 3}$ e studiare la convergenza uniforme di fn in $[−3, 3]$.

a) trovo che $ lim_(n ->+ infty) e^(-n-x)=0 $ tenendo presente che se $x=+infty$ è ok, ma se $x=-infty$ ho una forma indeterminata, come tengo conto di ciò nel punto c)?

b) in $[0, +∞)$, $f(x)=0$, $f'n(x) = -e^(−x − n)$, $f'n(x)>0$ se $e^(−x − n)<0$ che non è mai verificato, la funzione è descrescente e nell'intervallo il massimo è$0$, la convergenza è uniforme.

c) come scritto prima, qui non so come ragionare dato che se $x->-infty$ ho una forma indeterminata
d) c'è convergenza uniforme perchè il massimo si ha in $x=-3$

(a) Va bene. $x \in \RR$, quindi $x = + \infty$ non è contemplato.

(b) Ok.

(c) Qui verrebbe il sospetto che la convergenza non sia uniforme. Per vederlo basta prendere una successione di punti $x$ che dipende dall'indice di successione $n$, ovvero $x = x_n$, in modo tale che $f_n(x_n)$ non tenda a $0$. La scelta è annastanza semplice, pensaci...

(d) Ok.

[Seneca]

2) $ fn(x) = (x/n)e^(-x/n)$

(a) Studiare la convergenza puntuale della successione per x ∈ R.
(b) Studiare la convergenza uniforme della successione nell’insieme $A = [0, 1]$.
(c) Studiare la convergenza uniforme della successione nell’insieme $B = [1, +∞)$

a)$ lim_(n ->+ infty) =(x/n)e^(-x/n)=0 $ perchè prevale l'esponenziale, anche qui però se $x=+infty$ o $x=-infty$ ho un'indeterminazione, devo pensare che $n->infty$, mentre se x è proprio $x=infty$ dal limite ottengo lo stesso $0$? Al numeratore ho proprio infinito, al denominatore qualcosa che tende all'infinito..?
b) valuto $Sup{|f_n| t.c. x in [0,1]}$, nell'intervallo considerato $f_n$ è positiva quindi ometto il modulo e studio
$fn(x) = (x/n)e^(-x/n)$, $f'n(x) = e^(-x/n)(1-(x/n))$ che assume massimo in $x=n$ ma $fn(n)=1/e$ e non c'è convergenza uniforme.
c) qui c'è +infinito che mi confonde per le considerazioni di prima, non so cosa concludere anche perchè il massimo sarebbe lo stesso n, quindi non c'è convergenza uniforme?

(a) Leggi il commento al punto (a) dell'esercizio precedente.

(b) Attenzione, in questo caso $x \in [0,1]$, quindi il massimo per $n$ sufficientemente grande sarà sempre assunto in $x = 1$. Quindi...

(c) In questo caso la convergenza uniforme salta perché (vedi punto (c) dell'esercizio precedente) puoi scegliere una successione $x_n = n$ tale che $f_n(x_n)$ non tenda a $0$.

[Seneca]

3) Sia $A = [0, ∞)$, e sia $fn : A → R$, con $n ∈ N$, la funzione

$ f_n(x)={ ( 1-nx if x in [0,1/n] ),( 0 if x notin[0,1/n] ):} $
(a) Studiare la convergenza puntuale della successione (fn) in $A$.
(b) Detto f il limite puntuale di fn, calcolare $|| fn-f ||_(infty, A)$ e studiare la convergenza uniforme di $fn$ in $A$.
(c) Dire per quali $x ∈ A$ la serie $ sum_(n=1)^(+infty)(f_n(x)) $ converge puntualmente
(d) Studiare la convergenza uniforme della serie $ sum_(n=1)^(+infty)(f_n(x)) $ in $[1/4,4]$

a) Ho che $ f(x)= 1 $ se $x=0$, ma c'è un $n$ a partire dal quale $f_n= 0$ per $x in [1/n,+infty) $ cioè $n>=1/x$
perciò $f_n(x)->f(x)=0$ puntualmente in A

Se però faccio il limite per n che va all'infinito di $f_n(x)$ ottengo $f(x)=-infty $, e ciò vale per $x!=0$, però come tengo conto di ciò?
b) la convergenza uniforme c'è in $[1/n,+infty)$ essendo $f_n$ stessa 0
c)la serie converge solo in $[1/n,+infty)$ avendo somma nulla, in $ [0,1/n] $ no perchè non è rispettata la condizione necessaria
d) essendo la somma della serie identicamente nulla..cosa devo concludere?

(a) Ok (al solito, $x = +\infty$ non è contemplato).

(b) La convergenza uniforme la si deve studiare in $A$, non in intervalli che dipendono da $n$.
Il sup (che sarà una successione dipendente da $n$) va calcolato su $A$. Se detta successione va a zero allora hai convergenza uniforme, altrimenti no.

(c) La serie converge puntualmente perché, per ogni punto $x \in A$, la successione delle somme parziali è definitivamente nulla (nulla "da un certo punto in avanti"). Quindi per ogni $x \in A$, $\sum_n f_n(x)$ è una somma finita.

(d) Per la convergenza uniforme forse controllerei la convergenza totale... Butto lì l'idea...

[Valchiria]

Innanzitutto grazie mille per le risposte, allora nell'esercizio 1)

(c) Qui verrebbe il sospetto che la convergenza non sia uniforme. Per vederlo basta prendere una successione di punti $ x $ che dipende dall'indice di successione $ n $, ovvero $ x = x_n $, in modo tale che $ f_n(x_n) $ non tenda a $ 0 $. La scelta è annastanza semplice, pensaci...

Ho pensato di considerare inizialmente come $x_n in (−∞, 0) $ la successione $x_n=-1/n->0$, per dimostare la non convergenza basta verificare che $f_n(x)->f(x)=0$ non è verificato ma a me risulta $f(x_n)=e^(1/n-n)=e^((1-n^2)/n)=e^(n(1/n^2-1))=0$ per $n->+infty$, ma così il ragionamento non funziona, dato che $x_n in (−∞, 0) $ provo con $x_n=-n$ e ho $f_n(x)=e^(n-n)=1!=0$ perciò così dovrebbe essere dimostrato che la convergenza non è uniforme?
Ho pensato che potrei giustificarlo semplicemente dicendo che dato che la funzione è decrescente il sup è -infinito e perciò non c'è convergenza uniforme, però vorrei comunque sapere nell'altro metodo che mi hai consigliato come si procede correttamente

Per il 2) tutto chiaro

Per il 3)

(b) La convergenza uniforme la si deve studiare in $ A $, non in intervalli che dipendono da $ n $.
Il sup (che sarà una successione dipendente da $ n $) va calcolato su $ A $. Se detta successione va a zero allora hai convergenza uniforme, altrimenti no.

Si giusto, intendevo che devo verificare $Sup_(x in A)|f_n-f| -->0$ se $ n->+infty$ e in $(1/n,+infty)$ essendo $f_n=0$ è sicuramente vero, quindi mi resta da valutare $Sup_(x in [0,1/n])|f_n-f|=Sup_(x in [0,1/n])|1-nx|$ ho pensato che dato che sono in $[0,1/n]$ e che sicuramente $1>=1-nx$ per valutare il modulo $|1-nx|$ noto che maggiore è x, maggiore sarà la quantità da sottrarre ad 1, perciò il sup si ha per x=0, cioè il sup è 1 e la convergenza non è uniforme in A.
d)

Per la convergenza uniforme forse controllerei la convergenza totale... Butto lì l'idea...

Ok, però in $[1/4,4]$ non sono sempre nel caso $f_n(x)=0$? Perciò è vero che $ lim_(n -> infty) |S_n(x)-S(x)|=0 $ ?Non mi è chiaro il come valutare la totale nell'intervallo dato

[Seneca]

Ho pensato di considerare inizialmente come $x_n in (−∞, 0) $ la successione $x_n=-1/n->0$, per dimostare la non convergenza basta verificare che $f_n(x)->f(x)=0$ non è verificato ma a me risulta $f(x_n)=e^(1/n-n)=e^((1-n^2)/n)=e^(n(1/n^2-1))=0$ per $n->+infty$, ma così il ragionamento non funziona, dato che $x_n in (−∞, 0) $ provo con $x_n=-n$ e ho $f_n(x)=e^(n-n)=1!=0$ perciò così dovrebbe essere dimostrato che la convergenza non è uniforme?

Perfetto, $x_n = -n$ va bene. Anche $x_n = -n^2$ va bene.

Ho pensato che potrei giustificarlo semplicemente dicendo che dato che la funzione è decrescente il sup è -infinito e perciò non c'è convergenza uniforme, però vorrei comunque sapere nell'altro metodo che mi hai consigliato come si procede correttamente

In generale, per confutare la convergenza uniforme di una successione di funzioni $f_n$ ad una funzione $f$ in un certo insieme $X$, si mostra l'esistenza di una successione di punti $x_n \in X$ tali che NON valga $f_n(x_n) - f(x) \to 0$.

Questo garantisce che $\text{sup}_{x \in X} | f_n(x) - f(x) |$ non vada a $0$. Infatti, per ogni $n$, si ha che
\[ 0 \le | f_n(x_n) - f(x) | \le \sup_{x \in X} | f_n(x) - f(x) | .\]

Per il 3)

[ ... ]

Si giusto, intendevo che devo verificare $Sup_(x in A)|f_n-f| -->0$ se $ n->+infty$ e in $(1/n,+infty)$ essendo $f_n=0$ è sicuramente vero, quindi mi resta da valutare $Sup_(x in [0,1/n])|f_n-f|=Sup_(x in [0,1/n])|1-nx|$ ho pensato che dato che sono in $[0,1/n]$ e che sicuramente $1>=1-nx$ per valutare il modulo $|1-nx|$ noto che maggiore è x, maggiore sarà la quantità da sottrarre ad 1, perciò il sup si ha per x=0, cioè il sup è 1 e la convergenza non è uniforme in A.

Bene! In questi casi può aiutare farsi un disegnino.

Ok, però in $[1/4,4]$ non sono sempre nel caso $f_n(x)=0$? Perciò è vero che $ lim_(n -> infty) |S_n(x)-S(x)|=0 $ ?Non mi è chiaro il come valutare la totale nell'intervallo dato

In effetti che la convergenza sia uniforme in quell'intervallo è banale. Probabilmente hai difficoltà a capire come procedere perché è un caso troppo banale. Ragioniamo: se $x \in [1, 4]$ allora $f_n(x) = 0$ per ogni $n$; mentre se $x \in [1/4, 1)$ hai che $f_n(x) = 1 - n x$ per $n = 1,2,3,4$, ed invece $f_n(x) = 0$ per $n > 4$.

In ogni caso la serie si riduce ad una somma finita di termini positivi. La successione delle somme parziali è costante da $N = 4$ in poi ($N$ indipendente da $x$!), $\sum_{k=1}^n f_k(x) = \sum_{k=1}^4 f_k(x) $ per ogni $n$. Quindi calcola il limite per $n \to + \infty$ di
\[ \sup_{x \in [1/4, 4]} \left | \sum_{k=1}^n f_k(x) - \sum_{k=1}^4 f_k(x) \right | .\]

[Valchiria]

Ok, forse ci sono:

A me interessa cosa fa la successione in $[1/4,4]$, se pongo $n=4$ ho

$f_n(x)= { ( 1-x/4 if x in [0, 1/4] ),( 0 if x in (1/4, + infty) ):} $
Cioè la serie delle $f_n$, da $n=4$ in poi è $0$ quindi valutare la serie $sum_{k=1}^n f_k(x) $ equivale a valutare $sum_{k=1}^4 f_k(x) $, la convergenza è uniforme se $ lim_(n -> infty) Sup_(x in [1/4,4]) |S_n(x)-S(x)|=0 $

$Sup_(x in [1/4,4]) |S_n(x)-S(x)|= Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(+infty) f_k(x)-sum_{k=1}^n f_k(x)|=Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(+infty) f_k(x)-sum_{k=1}^4 f_k(x)|=Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=4}^(+infty) f_k(x)|$
ma so che da $4$ in poi $f_k=0$ perciò senza nemmeno valutare il sup concludo che è 0, la convergenza è uniforme?

[Seneca]

Ok, forse ci sono:

A me interessa cosa fa la successione in $[1/4,4]$, se pongo $n=4$ ho

$f_n(x)= { ( 1-x/4 if x in [0, 1/4] ),( 0 if x in (1/4, + infty) ):} $
Cioè la serie delle $f_n$, da $n=4$ in poi è $0$ quindi valutare la serie $sum_{k=1}^n f_k(x) $ equivale a valutare $sum_{k=1}^4 f_k(x) $, la convergenza è uniforme se $ lim_(n -> infty) Sup_(x in [1/4,4]) |S_n(x)-S(x)|=0 $

$Sup_(x in [1/4,4]) |S_n(x)-S(x)|= Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(+infty) f_k(x)-sum_{k=1}^n f_k(x)|=Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(+infty) f_k(x)-sum_{k=1}^4 f_k(x)|=Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=4}^(+infty) f_k(x)|$
ma so che da $4$ in poi $f_k=0$ perciò senza nemmeno valutare il sup concludo che è 0, la convergenza è uniforme?

Non capisco le ultime due uguaglianze. Io scriverei:
$Sup_(x in [1/4,4]) |S_n(x)-S(x)|= Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(+infty) f_k(x)-sum_{k=1}^n f_k(x)|=Sup_(x in [1/4,4]) |sum_{k=1}^(4) f_k(x)-sum_{k=1}^n f_k(x)|$
e, per $n \ge 4$, le due somme si cancellano (sono uguali) e risulta $= 0$.

Quindi, ai fini della convergenza uniforme, devi considerare il limite di questa successione che è definitivamente nulla.

Ho voluto scrivere per esteso ogni singolo passaggio. Tuttavia queste cose imparerai a vederle a colpo d'occhio.

[Valchiria]

Capito, grazie infinite!