Studiamoci un po' la cosa, prima di fare contazzi.
Il secondo membro della EDO è:
\[
f(x,y) := -y\ \frac{|x+5y|}{4x^2}
\]
definito in $Omega := RR^2 \setminus \{x=0\}$ (tutto il piano privato dell'asse delle ordinate , in
rosso in figura); la $f$ è localmente lipschitziana rispetto ad $y$ ergo, per ogni $(x_0,y_0)in Omega$, esiste un'unica soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{|x+5y(x)|}{4x^2}\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
La soluzione del PdC è di classe $C^1$ nel suo intervallo di definizione massimale $I$.
Le uniche soluzioni stazionarie della EDO sono i due rami della funzione $y^** (x)=0$ definiti in $]0,+oo[$ ed in $]-oo,0[$; dato che siamo in regime di unicità, il grafico di ogni PdC con $y_0!= 0$ non attreversa nessuno dei due rami del grafico di $y^**$ (in
arancio in figura).
Le soluzioni massimali dei PpddCc sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] negli intervalli in cui i loro grafici giacciono nella regione $Omega^+ := Omega \cap \{ y<0\}$ [risp. $Omega_(-) := Omega \cap \{ y>0\}$]; tali soluzioni hanno punti stazionari appartenenti all'insieme $Omega_0 := \{ x+5y=0\} = \{y=-1/5 x\}$ (in
blu in figura).
Il punto iniziale del PdC assegnato, i.e. $(x_0,y_0)=(1,1)$ (in
verde in figura) è nel primo quadrante, dunque la soluzione massimale $y(x)=y(x;1,1)$ del PdC rimane confinata in tale insieme (non può attraversare né l'asse delle ordinate né quello delle ascisse); inoltre, deve essere $lim_(x -> +oo) y(x)=0$ per monotònia e per noti fatti sul comportamento delle soluzioni massimali al bordo dell'insieme di definizione del secondo membro della EDO.
Da ciò segue che si ha sempre (nell'intervallo di definizione $I$) $x+5y(x)>0$ e perciò il PdC con i dati iniziali assegnati si può riscrivere senza il valore assoluto:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y(x)\ \frac{x+5y(x)}{4x^2}\\
y(1) = 1
\end{cases}\; ;
\]
Il secondo membro è omogeneo di grado $0$, dunque l'equazione diventa a variabili separabili ponendo $y(x)=x*u(x)$ con $u(x)$ da determinare risolvendo il PdC ausiliario:
\[
\begin{cases}
x\ u^\prime (x) + u(x)= -u(x)\ \frac{5u(x)+1}{4}\\
u(1) = 1
\end{cases}\; .
\]
La soluzione, se ho fatto bene i conti, è:
\[
u(x) = \frac{1}{2x^{5/4}-1}
\]
definita in $I=]2^(-4/5), +oo[$, sicché la soluzione del PdC assegnato è:
\[
y(x) = \frac{x}{2x^{5/4}-1}
\]
definita nel medesimo intervallo (graficon in
verde).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)