Piccolo dubbio riguardo ad una serie con parametro.

[lucadibbo]

Buonasera , qualcuno potrebbe spiegarmi per quale motivo devo calcolare la seguente serie ( e trovarne il valore per cui essa converge) imponendo il valore assoluto? Non ho problemi sulla risoluzione , ma alla fine vedo che il risultato oscilla tra due valori che trovo solo se studio la serie in valore assoluto ... Capisco che deve essere positiva , ma la x è all'interno di una parentesi è all'interno di una parentesi con esponente pari ,quindi non riesco a capir la motivazione :
$ sum_(n = 1)^(+oo)(n^(1/2)+(x-1)^(2n))/(n5^n) $

Grazie in anticipo , buona giornata.

[lucadibbo]

Ho appena dedotto che per questo esercizio in particolare non è strettamente necessario il valore assoluto , d'altra parte quando applicarlo e perché? (in casi simili a quest'ultimo)

[cooper]

quando applicarlo e perché?

può avere senso studiare la convergenza assoluta quando il termine generale della serie è a segno variabile. la si studia perchè se si dimostra che la serie converge assolutamente allora si ha anche convergenza semplice della serie di partenza. se invece dovesse divergere assolutamente nulla si potrebbe dire sulla serie di partenza e dovremmo usare altri metodi (tipo Leibnitz che però è più tedioso in certe situazioni).

[pilloeffe]

Ciao lucadibbo,

Beh, farei così:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(n^(1/2)+(x-1)^(2n))/(n 5^n) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(n^(1/2))/(n 5^n) + \sum_{n = 1}^{+\infty}((x-1)^(2n))/(n 5^n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(\sqrt{n} 5^n) + \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{[(x-1)^2/5]^n}{n} $

La prima serie non dipende da $x $ ed è convergente (si vede subito applicando il criterio del rapporto); la seconda, posto $ y := (x-1)^2/5 $ è del tipo seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{y^n}{n} = - ln(1 - y) \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 $

Pertanto la serie iniziale proposta converge per $ (x - 1)^2 < 5 \iff 1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5} $

[gugo82]

@pilloeffe: Avrai notato che "come si svolge l'esercizio?" non era la domanda dell'OP... Quindi il tuo post cosa c'entra con la discussione?

[pilloeffe]

Beh, l'idea era far vedere che, nel caso specifico, così come in altri similari, la serie è a termini positivi, quindi non serve studiare la convergenza assoluta: poi magari ci sta che non sia riuscito a far passare il messaggio...