tema d'esame - meccanica

[zio_mangrovia]

Ho necessità di un "piccolo" aiuto per comprendere la soluzione adottata in questo esercizio:




Vorrei concentrarmi sul punto B, il punto A era facile:

1. Se ho ben compreso il corpo appena incontra il tratto L, dove presente attrito dinamico, striscia. Poi dopo un tempo a me sconosciuto si dice che striscia e rotola contemporaneamente.
   Non capisco perchè il corpo non rotoli non appena trova l'attrito, quale legge lo stabilisce?
2. Come mai dopo il corpo rotola e striscia contemporaneamente? Perchè non rotola e basta ? Quindi se non sbaglio non è puro rotolamento ma, perdonatemi il termine, "strisciamento" e rotolamento ?
3. Non capisco questa equazione come sia stata impostata: $v_{cm}(t)=viL -\mu_d$ $g$$t$
   So che la forza di attrito dinamico vale $\mu_dmg$ ma quel conto non capisco quali siano le considerazioni fatte

Grazie in anticipo

[professorkappa]

1. Il corpo arriva senza rotolare. E' la forza di attrito che comincia a farlo rotolare, con velocita' angolare crescente col tempo, contemporaneamente frenandone il cdm.
2. Fino a che queste 2 quantita' non si mischiano nelle relavione $v_[cdm]=omegaR$, il corpo trasla e rotola.
3. Impone, appunto, che $v_[cdm](t)=omegaR(t)$

[zio_mangrovia]

1. Il corpo arriva senza rotolare. E' la forza di attrito che comincia a farlo rotolare, con velocita' angolare crescente col tempo, contemporaneamente frenandone il cdm.

Questo mi è chiaro. Ma il testo della soluzione è scritto malissimo perchè recita:

inizialmente, nel tratto in cui è presente attrito, il corpo striscia ma non rotola.

Non è vero, perchè l'attrito la fa iniziare rotolare come dici tu.

2. Fino a che queste 2 quantita' non si mischiano nelle relazione $v_[cdm]=omegaR$, il corpo trasla e rotola.

Non vorrei far confusione e vorrei conferma di aver capito: il pro rotolamento è composto da rotazione e traslazione. Ma qua si parla invece di moto di traslazione (dovuto allo stracciamento del corpo) sommato al puro rotolamento (che è di nuovo traslazione ma anche rotazione) cioè voglio dire c'e' una componente in più di traslazione dovuta al fatto che striscia?

3. Impone, appunto, che $v_[cdm](t)=omegaR(t)$

Questa equazione è la condizione di puro rotolamento ma non capisco cosa rappresentino i membri dell'equazione.

[professorkappa]

1. Leggi bene. Intende che arriva all'interfaccia scabra senza ruotare e nel momento in cui entra comincia a ruotare (usiamo "ruotare" quando il corpo ha un movimento di rotazione attorno al cdm, e usiamo "rotolare" quando il moto e' di puro rotolamento, cosi non ci confondiamo).
"Inizialmente" e' la parola chiave, ma e' un istante infinitesimo: la rotazione e' nulla all'istante t=0 di ingresso sul piano scabro e poi cresce linearmente per via del momento fornito dall'attrito dinamico.
Quindi l'attrito dinamico $F_d=mu_dmg$ ha duplice effetto:

(a) aumenta la velocita' angolare (ovvero la rotazione attorno al mozzo) secondo la legge $F_d*R=Iddottheta$
(b) Diminuisce la velocita' del cdm secondo la legge $-F_d=mddotx$

Se integri enrambe le equazioni per 1 volta ottieni rispettivamente l'andamento in funzione del tempo della velocita' angolare, che chiamiamo $omega$, e l'andamento, sempre in funzione di t, della velocita' di traslazione che dunque saranno, (tenuto conto delle condizioni iniziali all'ingresso della superficie scabra):

$dottheta=omega=[F_dR]/I*t$
$dotx=v_[cm]=v_i-F_d/m*t$ ($v_i$ e' la velocita' iniziale con cui la sfera arriva sul piano scabro)

Quindi, col passare del tempo, $omega$ aumenta e $v_[cm]$ diminuisce.

Ci sara' (forse, se il piano scabro e' sufficientemente lungo,e qui lo e') un istante in cui $v_cm=omegaR$ che e' la condizione di rotolamento puro (RP). Questo istante lo trovi dallla soluzione del sistema delle 2 equazioni sopra.

Nel momento in cui si instaura il RP, l'attrito sparisce e il corpo continua lillo lillo per i fatti suoi a rotolare di RP (non importa piu' che il piano sia scabro o meno: una volta instauratasi, la condizione di RP se ne impippa del fondo del piano di appoggio).

Per finire: come detto sopra il RP e' un moto di rotazione e traslazione in cui $v=omegaR$. In pratica, per ogni giro della sfera o del cilindro o della ruota, il centro si sposta di $2piR$. Se il moto non e' di RP, la traslazione e la rotazione sono indipendenti: Il corpo puo ruotare su se stesso con velocita $omega$ ma avere $v_[cm]=0$ (rotazione pura) oppure il centro si puo muovere di velocita' $v_[cm]$ e avere velocita' angolare $omega=0$ (traslazione pura).

Tutto cio che sta in mezzo, escluso $v=omegaR$, e' chiamato roto-traslazione.

[zio_mangrovia]

Grazie 1000 per la spiegazione completa ed esaustiva, inoltre anche chiarissima che senza di essa non sarei arrivato da nessuna parte.
Ho solo un piccolissimo dubbio sul momento indotto dalla forza di attrito rispetto all'asse del cilindro (spero sia la terminologia corretta) :
$F_d*R=I*ddot theta$ Non dovrebbe essere negativo? Il cilindro ruota in senso orario.
Oppure il segno in questo caso è dettato dal calcolo dell'accelerazione angolare $ddottheta$ ?

[professorkappa]

Scegli il senso della rotazione. Se il momento tende a far girare in quel senso il segno lo metti positivo. Se tende a far girare nel senso inverso lo metti negativo negativo. Siccome qui la palla si muove verso destra, io scelgo come positive le rotazioni orarie. La forza d'attrito e' rivolta verso sinistra quindi tende a far girare la sfera in senso orario, quindi il segno di $F_dR$ e' positivo