Derivata seconda

[harperf]

Sera, mi è venuto un dubbio leggendo una vecchia discussione che ho trovato sul sito e mi trovo con questa domanda:


ma la derivata seconda è corretto scriverla come

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t + \Delta t') - s(t + \Delta t)}{\Delta t'} - \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t') - s(t)}{\Delta t'}}{\Delta t}$

oppure come

$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} ;.
$

Perché la seconda potrei ottenerla dalla prima ammettendo di poter "unificare i limiti" ma sotto quali ipotesi posso farlo?

link: viewtopic.php?f=36&t=192925

[Mathita]

Il primo limite è la definizione di derivata seconda, il secondo invece no. Osserva che se $s(t)=|t|$:

- il primo limite non esiste per $t_0=0$, come è giusto che sia giacché la funzione non ammette derivata prima in tale punto, figuriamoci derivata seconda;

- il secondo limite esiste per $t_0=0$ e vale 0.

Se però la funzione $s(t)$ è derivabile due volte in $t_0$ (ossia se il primo limite esiste ed è finito), il secondo limite esiste finito e coincide con il primo.

[Edit]: ho aperto il link alla discussione cui fai riferimento solo dopo aver risposto. Nota che Gugo82 ha fornito le condizioni in forma di esercizio (con tanto di suggerimento nello spoiler) sotto le quali sussiste effettivamente l'uguaglianza tra il secondo limite e la derivata seconda.

[harperf]

Hai ragione avevo frainteso la risposta di gugo82, ora ho capito.

Mi chiedevo altre cosette che vorrei chiarire perché penso siano fondamentali,tra queste:

1) perché differenziare i delta t con l'apice "primo" e non prenderli della stessa forma?
Non potrei scrivere ad esempio:

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + 2\Delta t) - s(t + \Delta t)}{\Delta t} - \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}}{\Delta t}$
Non capisco perché sarebbe errato.

2) Non capisco come giungere da
$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t + \Delta t') - s(t + \Delta t)}{\Delta t'} - \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t') - s(t)}{\Delta t'}}{\Delta t}$

al limite

$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} ;.
$
sotto l'ipotesi che dicevamo di s(t) derivabile due volte.

Vorrei tanto fare miei questi 2 punti dubbi per poter dire di aver capito a fondo la questione.
Grazie mille Mathita per farmi vedere queste cose, son dubbi che mi portavo dietro da un po'.

[Mathita]

Hai ragione avevo frainteso la risposta di gugo82, ora ho capito.

Mi chiedevo altre cosette che vorrei chiarire perché penso siano fondamentali,tra queste:

1) perché differenziare i delta t con l'apice "primo" e non prenderli della stessa forma?
Non potrei scrivere ad esempio:

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + 2\Delta t) - s(t + \Delta t)}{\Delta t} - \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}}{\Delta t}$
Non capisco perché sarebbe errato.

Questa espressione è sbagliata su molti livelli, primo fra tutti sintattico. Osserva ad esempio che una volta svolti i limiti al numeratore, l'espressione che ottieni non dipende più da $\Delta t$, bensì solo dalla variabile $t$ (il limite esterno si indispettisce alquanto).

Vorrei osservare inoltre che $\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t)}{\Delta t}$ non è in generale equivalente al limite del rapporto incrementale

$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t'+\Delta t)-s(t+\Delta t')}{\Delta t}$

Nel caso esista, questo limite rappresenta la derivata prima di $s$ calcolata nel punto $t+\Delta t'$, che è poi quello che ti serve per la costruzione della derivata seconda.

A livello strutturale, nella definizione di derivata di una funzione $f$ compare la differenza $f(t+\Delta t)-f(t)$, in cui $t$ è fissato, mentre $\Delta t$ varia. Nel limite

$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t)}{\Delta t}$

invece variano sia $t+2\Delta t$ sia $t+\Delta t$: che cosa vuoi intendere con questo limite? Che cosa vorrebbe rappresentare?

2) Non capisco come giungere da
$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t + \Delta t') - s(t + \Delta t)}{\Delta t'} - \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t') - s(t)}{\Delta t'}}{\Delta t}$

al limite

$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} ;.
$
sotto l'ipotesi che dicevamo di s(t) derivabile due volte.

Vorrei tanto fare miei questi 2 punti dubbi per poter dire di aver capito a fondo la questione.
Grazie mille Mathita per farmi vedere queste cose, son dubbi che mi portavo dietro da un po'.

Hai provato a risolvere l'esercizio di Gugo82? Sotto le ipotesi imposte, i passaggi possono essere letti nei due sensi (andata e ritorno).

[harperf]

Grazie, mi hai fatto riflettere sul primo punto e credo di aver finalmente compreso! Sono stato fortunato ad avere una tua risposta a riguardo.

Per quanto riguarda il secondo dubbio, invece, sento che devo acora mettere a posto quaclosa: in particolare ho svolto l'esercizio di gugo senza guardare la soluzione dell' OP e poi controllando. Ho svolto pari l'esercizio.
In effetti svolgendolo mostro che il secondo limite del punto (2)
$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} ;.
$
vale proprio s''(t), cioè in fin dei conti il limite del rapporto incrementale che per definizione è s''(s) appunto.
$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t + \Delta t') - s(t + \Delta t)}{\Delta t'} - \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t') - s(t)}{\Delta t'}}{\Delta t}$ (*)

Tuttavia quello che non riesco bene a capire è vedere la (*) come limite di un limite. Cioé svolgendo il limite per $Deltat'->0$ e dopo fare quello per $Deltat->0$ perché mi fa uscire proprio
$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} ;.
$

in poche parole dedurre tale limite dal primo. Ma non riesco a riarrangiarlo per farlo.

[Mathita]

In questo messaggio tenterò un approccio leggermente diverso, però richiede la conoscenza dei limiti di funzioni in due variabili. Sono pressoché sicuro che il metodo funziona, d'altra parte dovrò assumere una condizione aggiuntiva a cui non riesco a rinunciare (purtroppo).

Sia $s:I\to\mathbb{R}$ una funzione derivabile due volte in $t_0$ interno all'intervallo $I$. Per definizione di derivata seconda, esiste finito il limite

$\lim_{\Delta t'\to 0}\frac{s'(t_0+\Delta t')-s'(t_0)}{\Delta t'}=s''(t_0)$

In accordo con la definizione di derivata prima, esistono finiti i seguenti limiti:

$s'(t_0+\Delta t')=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-s(t_0+\Delta t')}{\Delta t}$ per ogni $\Delta t'$ sufficientemente piccolo e

$s'(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$.

Per il teorema sulla somma dei limiti

$s'(t_0+\Delta t')-s'(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\left[\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-2s(t_0+\Delta t')+s(t_0)}{\Delta t}\right]$

di conseguenza

$s''(t_0)=\lim_{\Delta t'\to 0}\frac{s'(t_0+\Delta t')-s'(t_0)}{\Delta t'}=\lim_{\Delta t'\to 0}\lim_{\Delta t\to 0}\left[\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-2s(t_0+\Delta t')+s(t_0)}{\Delta t\Delta t'}\right]$

Quello che ho ottenuto prende il nome di limite iterato. Ora qui ho bisogno di imporre una condizione abbastanza forte sulla funzione

$g(\Delta t, \Delta t')=\left[\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-2s(t_0+\Delta t')+s(t_0)}{\Delta t\Delta t'}\right]$

e in particolare devo richiedere che $g(\Delta t, \Delta t')$ ammetta limite per $(\Delta t, \Delta t')\to (0,0)$ (è un limite in due variabili, non iterato!). Infatti se il limite

$\lim_{(\Delta t, \Delta t')\to (0,0)}g(\Delta t, \Delta t')$

esiste, esso deve coincidere necessariamente con $s''(t_0)$. Per il teorema sull'unicità del limite, il risultato del limite $\lim_{(\Delta t, \Delta t')\to (0,0)}g(\Delta t, \Delta t')$ non dipende dal percorso scelto per giungere a $(0,0)$ e - data l'arbitrarietà - niente ci impedisce di prendere in considerazione il percorso definito dalla relazione $\Delta t=\Delta t'$ sul quale:

$\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-2s(t_0+\Delta t')+s(t_0)}{\Delta t\Delta t'}=\frac{s(t_0+2\Delta t)-2s(t_0+\Delta t)+s(t_0)}{\Delta t^2}$

In definitiva, sotto le condizioni imposte

$s''(t_0)=\lim_{\Delta t'\to 0}\frac{s'(t_0+\Delta t')-s'(t_0)}{\Delta t'}=\lim_{\Delta t'\to 0}\lim_{\Delta t\to 0}\left[\frac{s(t_0+\Delta t'+\Delta t)-2s(t_0+\Delta t')+s(t_0)}{\Delta t\Delta t'}\right]$

$=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_0+2\Delta t)-2s(t_0+\Delta t)+s(t_0)}{\Delta t^2}$

Purtroppo non sono in grado di dirti se questo approccio sia il migliore possibile... e ho davvero pochissimo tempo per pensarci.

Ogni altro contributo alla discussione è ben accetto!

[harperf]

Non avevo pensato di passare a un limite in due variabili, l'unico punto dubbio è che seppur sia d'accordissimo che ogni restrizione del cammino porti allo stesso limitese esiste il limite. Non è detto che quella restrizione sia il valore del limite.

Mi spiego meglio: il teorema sul limite delle restrizioni afferma che ogni sottoinsieme del mio dominio che abbia (0,0) come punto di accumulazione vale che il limite su tale restrizione sarà m.
Ma non vuol dire che possa esistere un'altra restrizione che mi dia un valore diverso l.


PS: ops scusa leggendo sul treno da cell solo ora mi sono accorto che hai imposto l'esistenza del limite in due variabili come ipotesi ulteriore. Allora sì mi torna.
Solo non sapevo che due limiti iterati potessero considerarsi alla stregua di un limite in due variabili!, discende dal fatto che il limite componente per componente è dimostrabile essere uguale al limite "globale"?


Grazie mille, direi che per ora il dubbio è sufficientemente fugato, mi hai convinto