Concavità

[catemagnifique]

Ciao ragazzi!
Domanda veloce: la funzione |1-x| è da considerarsi concava? Perché da un punto di vista puramente numerico, la derivata seconda è 0, quindi sarei portata a dire di no.
Però seguendo la definizione data a lezione ( che la funzione è convessa se, prendendo sempre due punti a caso, la retta che li congiunge è al di sopra del grafico) sarei invece portata a dire di sì.
Voi che mi dite?

[Raptorista]

Attenta a non usare i teoremi nella direzione sbagliata!
La definizione è la cosa che conta.

[dissonance]

Attenzione! La derivata seconda deve esistere in TUTTI i punti di un intervallo, per poter dire di una funzione che è concava o convessa o affine su quell'intervallo. (Una funzione \(f\colon I\to \mathbb R\) è affine se si può scrivere come \(f(x)=ax+b\). Una funzione affine è contemporaneamente concava e convessa).

[catemagnifique]

Ok quindi, se ho capito bene, qui non posso parlare nemmeno di concavità o meno (parlando sempre su tutto il dominio) perché ho un punto angoloso in x=1, giusto?

[gugo82]

Non ci sei.
Quello che ti stanno suggerendo è che non puoi applicare il test della derivata seconda per stabilire alcunché globalmente, in tutto $RR$.

Ciò che il test della derivata seconda ti consente di concludere è solo che la funzione $f(x):= |1-x|$ è affine¹ in ognuno degli intervalli $]-oo,0]$ e $[0,+oo[$ (all’interno dei quali $f$ è derivabile quanto si vuole ed ha derivata seconda identicamente nulla).

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Note

1. I.e. del tipo $ax+b$ ↑