in realtà vale più in generale per gli spazi euclidei, ma la dimostrazione è pressoché identica.
come definizione di differenziabilità si è usata quella del De Marco(Analisi Due, volume unico)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
siano $V,W$ due $RR$ spazi normati e sia $U$ un aperto di $V$.
Diremo che una funzione $f:U->W$ è differenziabile in un punto $x_0 in U$ se esiste una funzione lineare continua $L:V->W$ per cui valga
Diremo che una funzione $f:U->W$ è differenziabile in un punto $x_0 in U$ se esiste una funzione lineare continua $L:V->W$ per cui valga
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))/||h||_V =0$
Con $h,k$ denoterò vettori
userò un lemma sulle funzioni lineari e continue preso dal Lang(undergraduate analysis, capitolo derivative in vector space(grazie dissonance))
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sia $L:V->W$ una funzione lineare tra i due $RR$ spazi normati.
$L$ è continua in $0$ $<=>$ $exists delta>0 in RR:forallv in V, ||L(v)||leqdelta||v||$ $<=>$ $L$ è Lipschitz
$L$ è continua in $0$ $<=>$ $exists delta>0 in RR:forallv in V, ||L(v)||leqdelta||v||$ $<=>$ $L$ è Lipschitz
ora prendo $V,W,U$ tre $RR$ spazi normati e due aperti $XsubseteqV$ e $YsubseteqU$.
Inoltre prendo due funzioni $f:X->Y$ e $g:Y->W$. Supponiamo che $f$ sia differenziabile in $x_0$ e $g$ in $f(x_0)$.
Comincio la dimostrazione
per prima cosa scrivo, date le ipotesi:
$f(x_0+k)=f(x_0)+L(k)+o(||k||), k->0$
$g(f(x_0)+h)=g(f(x_0))+T(h)+o(||h||), h->0$
$g(f(x_0)+h)=g(f(x_0))+T(h)+o(||h||), h->0$
pongo $h=f(x_0+k)-f(x_0)$ allora ottengo
$g(f(x_0+k))-g(f(x_0))=T(f(x_0+k)-f(x_0))+o(||f(x_0+k)-f(x_0)||)$
sottraggo la quantità $T(L(k))$ ad entrambi i membri e divido per $||k||$ portandomi nella forma
$(g(f(x_0+k))-g(f(x_0))-TcircL(k))/(||k||)=T((f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||))+(o(||f(x_0+k)-f(x_0)||))/(||f(x_0+k)-f(x_0)||)*||(f(x_0+k)-f(x_0))/(||k||)||$
la linearità di $T$ l'ho usata per entrare il vettore $L(k)$ e lo scalare $||k||$
il lemma del Lang lo uso per dire che esiste un $delta>0: ||T(v)||leqdelta||v||$ e quindi
$||T((f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||))||leqdelta ||(f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||)|| ->0$
$(o(||f(x_0+k)-f(x_0)||))/(||f(x_0+k)-f(x_0)||) ->0$
non resta che mostrare che l'altra quantità sia limitata.
ma di fatto $||(f(x_0+k)-f(x_0))/(||k||)|| leq ||(f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||)||+|| L(k/(||k||)) ||$
usando ora il lemma su $L$(supponendo che $gamma$ sia la costante incriminata) si mostra che $||L(k/(||k||))||leqgamma$ e l'altra quantità tende a zero, pertanto l'asserto dovrebbe essere provato.
Che ne pensate? Ho provato a partorirla da solo.
