Chiarimento su periodo oscillazioni di un pendolo semplice rispetto all'equilibrio

[phigreco]

Testo del problema:
Pendolo semplice appeso per un filo lungo $l$ al tetto di un vagone di un treno che avanza con accelerazione $A$.

• Ricavare l'angolo di equilibrio $\theta$ rispetto alla verticale
• Il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

• Il primo punto l'ho risolto così:
  
  Testo nascosto, fai click qui per vederlo
  
• Sul secondo punto ero partito con i seguenti propositi:
  -Impostare anche qui le equazioni di Newton, ma nel sistema di riferimento ruotato di $\theta$
  -Sfruttare l'equazione lungo la direzione tangente $\hatu_(\theta)$
  -Ottenere un'equazione simile a quella del moto armonico da cui estrarre la pulsazione $\omega$
  -Procedere con il calcolo del periodo come $T = (2pi)/\omega$
  
  Peccato che così facendo ottengo: $d^2/(dt^2)\theta + g/l sin\theta -A/l cos\theta = 0$ e per piccole oscillazioni e quindi per $\theta~0 -> sin\theta ~ \theta, cos\theta ~1 $ ottengo $(d^2\theta)/(dt^2) + g/l \theta = A/l$ da cui $\omega = g/l$ come nel caso del pendolo semplice "classico"...risultato è errato

Le soluzioni corrette che ho trovato per il secondo punto invece concordano sui seguenti punti:

• Portarsi nel sistema di riferimento non inerziale del vagone
• Considerare un'accelerazione risultante sul corpo del pendolo pari a:
  
  $a' = sqrt(g^2+ A^2)$
• Per poi proseguire sfruttando quell'accelerazione come se fosse la forza gravitazionale $g$ in un pendolo semplice, ottenendo $(d^2\theta)/(dt^2) + (a')/l \theta = 0$

Un qualcosa di simile si trova qui

Non capisco dove finisca la tensione, come si diagrammi un qualcosa del genere, che ragionamenti legati alla dinamica del punto portino a tale soluzione...

[professorkappa]

Non fai altro che ripetere lo stesso ragionamento, solo che ora il peso non e' $mg$, ma $ma'$.
Quindi spostandolo dalla posizione di equilibrio, la II di Newton lungo la tangenziale e'

$-M[a']sintheta=MLddottheta$ da cui per le piccole oscillazioni

$ddottheta+[a']/Ltheta=0$

La tensione c'e' se consideri la II di Newton lungo il filo.

Non so se ho capito il tuo dubbio

[phigreco]

Non fai altro che ripetere lo stesso ragionamento, solo che ora il peso non e' $mg$, ma $ma'$.
Quindi spostandolo dalla posizione di equilibrio

Non capisco perché va considerato quel peso e, quindi, quell'accelerazione

[phigreco]

Cioè, da dove spunta $ a' = sqrt(g^2+ A^2) $?
Continuo ad avere la forza apparente, la forza di gravità e la tensione dirette come nel diagramma di corpo libero che ho riportato nello spoiler nel post iniziale? Se così fosse non dovrebbe valere il mio ragionamento esposto nel post iniziale che però mi portava ad avere $ (d^2\theta)/(dt^2) + g/l \theta = A/l $ e quindi una soluzione errata?

[professorkappa]

Il ragionamento piu' semplice e' quello di applicare la gravita' "distorta" dall'accelerazione di inerzia. Se tu, osservatore, vedi questo pendolo in equilibrio e ti assicurano che il pendolo e' appeso sotto l'azione della gravita', se vai a misurare con un dinamometro la tensione del filo fermo non puoi che concludere che in quella regione di spazio la gravita' ha modulo $ a=sqrt(g^2+a^2)$. Allora, le oscillazioni del pendolo non possono che essere le stesse a patto di sostituire a $g$ il valore di $a$.

Questo spero che sia chiaro e assodato.

Se invece tu vuoi fare i conti dal punto di vista di un osservatore che si aggiusta il sdr ruotandolo di $theta_0$ (angolo di equilibrio), detto $phi$ l'angolo con cui la sfera si discosta dalla verticale (di modo che $phi+theta_0$ sia l'angolo rispetto alla verticale quando il pendolo si trova in una generica posizione diversa dall'equilibrio ) l' equazioni che regge tutto e' quella lungo l'ortogonale al filo per la quale si ha


$macos(theta_0+phi)-mgsin(theta_0+phi)=mLddotphi$

Con un po' di formule di prostaferesi, e tenuto conto, dai calcoli fatti da te stesso, che $mgsintheta_0=mAcostheta_0$ e $T=ma=mgcostheta_0+mAsintheta_0$ arriverai a scrivere che $ddotphi+[a]/Lphi=0$

[phigreco]

Ora è tutto più chiaro ti ringrazio