Determinare lo spazio generato da sistemi di vettori.

[Giu1234]

Salve a tutti, per ora vi sto disturbando molto sull'algebra lineare, ma purtroppo ci sono alcuni concetti che non mi sono per nulla chiari.

Devo detereminare lo spazio generato dai seguenti sistemi di vettori di $ M_2(R) $ .

$ U_1=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ), ( ( 1 , 0 ),( 0 , -2 ) ), ( ( 0 , 1 ),( 0 , 2 ) ), ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $

$ U_2=( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ), ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) ), ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $

Per quanto riguarda $ U_1 $ ho fatto la combinazione lineare e i coefficenti risultano tutti nulli, allora i vettori sono linearmente indipendenti, da qua non so come procedere, ho però supposto che se i vettori sono linearmente indipendeti vuol dire che lo spazio generato coincide con $ M_2(R) $ , è giusta come supposizione? E se fossero stati linearmente dipendenti cosa avrei dovuto fare per determinare lo spazio generato?

[anto_zoolander]

Si la supposizione è corretta, brav*.

in genere se ${v_1,...,v_n}$ è un sottoinsieme finito di vettori di uno spazio vettoriale $V$ allora lo spazio generato sarà

$<<v_1,...,v_n>> = {sum_(k=1)^(n)alpha_kv_k in V: alpha_1,...,alpha_n in K}$

quindi basta fare una generica combinazione lineare per ottenere lo spazio generato da $n$ vettori.

in genere se $S:= <<v_1,...,v_n>>$ è lo spazio generato da essi allora $SsubseteqV => dimSleqdimV$ in particolare se quei vettori sono linearmente dipendenti e la dimensione dello spazio $V$ è $n$ allora $dimV=dimS => S=V$ infatti c'è un teorema che ti dice che un sottospazio della stessa dimensione dello spazio, coincide con esso.

di fatto sia $s in V$ considerando $alpha s+sum_(k=1)^(n)alpha_kv_k=0 => alpha=0$ allora sarebbero tutti nulli e non andrebbe bene poichè il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è $n$. Quindi puoi scrivere ogni $s$ come combinazione lineare di quei $v_1,...,v_n$ vettori e quindi coincidono.

Tu hai trovato proprio questo, che lo spazio generato da quelle matrici coincide con tutto lo spazio.
Per $<<U_2>>$ cosa ti torna?

[Giu1234]

Prima di tutto grazie per la celere risposta!

Per quanto riguarda $ <U_2> $ , mi pare che anche i vettori di $ U_2 $ siano linearmente indipendenti, quindi il risultato dovrebbe essere analogo a quello di $ U_1 $

[anto_zoolander]

Non ho fatto i conti ma ad occhio e croce dovrebbe essere così

[Giu1234]

Quindi se ad esempio io avessi un sistema del genere:

$ S = {( ( 2 , 0 ),( 3 , 1 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ), ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) )} $

Già si nota ad occhio che i vettori sono linearmente dipendenti, perché si vede dalla relazione: $ v_2 = v_3 + v_4 $

Ma ho un attimo di confusione, spazio e sottospazio generato sono due cose diverse? Un sottospazio vettoriale non è a sua volta uno spazio vettoriale perché mantiene le proprietà di somma e prodotto per uno scalare?

Se si posso scartare uno dei tre vettori della relazione per considerare come sottospazio generato $ <S> $ e quindi determinarlo così?

$ <S> = <( ( 2 , 0 ),( 3 , 1 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) )> $ dim <S> = 3

Scusami per le tante domande e grazie per la tua pazienza!

[anto_zoolander]

Si: un sottospazio di uno spazio vettoriale è a sua volta spazio vettoriale. Inoltre potresti fare le seguenti cose per esercizio:

0)

sia $V$ un $K$ spazio e $S:={v_1,...,v_n}subseteqV$ un sottoinsieme di vettori.
Mostrare che l’insieme sotto è un sottospazio di $V$ contenente $S$

$<<S>> := <<v_1,...,v_n>> :={sum_(k=1)^(n)alpha_kv_k in V: alpha_1,...,alpha_n in K}$

1)

sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e $F:={V_(alpha): alpha in I}$
una famiglia di sottospazi vettoriali di $V$

$bigcap_(alpha in I)V_(alpha)leqV$ NB¹

2)

sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e $S:={v_1,...,v_n}subseteqV$
un sottoinsieme di vettori, mostrare che:

$bigcap_(SsubseteqWleqV)W= <<v_1,...,v_n>>$ NB²

3)

sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e ${v_1,...,v_n}subseteqV$
un sottoinsieme di vettori

$v_n in <<v_1,...,v_n>> => <<v_1,...,v_n>> = <<v_1,...,v_(n-1)>>$

0) ti dice che quello è un sottospazio vettoriale

1) ti dice che una intersezione qualsiasi di sottospazi vettoriali è ancora uno spazio vettoriale.

2) ti dice che il sottospazio generato è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contente $S$

3) ti dice che se un generatore dipende dagli altri, lo puoi scartare, generando lo stesso sottospazio

Questi quattro esercizi rispondono ad un po’ di domande relative agli spazi generati.

In realtà il 3) si potrebbe vedere più in generale:

$exists j inNN, 1leqjleqn(v_j in <<S>> => <<S>> = <<Ssetminus{v_j}>>)$

Tra l’altro sono pure esercizi carini
Se vuoi farli e se hai bisogno, chiedi pure. Altrimenti rimarranno quì in vista di futuri interessi

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Note

1. questa intersezione è definita nel modo seguente: sia $Omega$ un insieme e $F={A_alpha : alpha in I}$ una famiglia di sottoinsiemi, allora:
   $bigcap_(alpha in I)A_(alpha):={ x in Omega| x in A_(alpha), forall alpha in I}$ ↑
2. con questo si intende l’intersezione di tutti i sottospazi $W$ di $V$ che contengono l’insieme $S$ e per l’esercizio precedente sai che non importa quanti siano, questo è uno spazio vettoriale. ↑