Traiettoria di un punto [meccanica razionale]

[Sossella]

Ciao a tutti! ho il seguente problema di meccanica razionale sulla traiettoria di un punto che si muove di moto armonico:
Un punto $ P $ si muove nel piano $ Oxy $ con legge $ x(t)=Acos(w_x*t-alpha) $ e $ y(t)=Bcos(w_y*t-beta) $
Determinarne la traiettoria al variare dei parametri $ w_x $, $ w_y $, $ alpha $ e $ beta $
Io ho proceduto col caso $ w_x = w_y = w $ con le ampiezze diverse e anche gli angoli.
Eliminando t dalle equazioni trovo $ y_t = Bcos((wt-alpha)+(alpha-beta)) $
Ricorro alle formule di addizione del coseno e ottengo $ y_t = Bcos(wt-alpha)*cos(alpha-beta)+Bsin(wt-alpha)*sin(alpha-beta) $
Sempre dalle formule di trigonometria ricavo che $ (w_xt-alpha) = x/A $ e, andando a sostituire, trovo $ y(t) = B*x/A*cos(alpha-beta)+B*y/Bsin(alpha-beta) $ e arrivo a $Ay(t)-Bxcos(alpha-beta)=Aysin(alpha-beta) $
Arrivato a questo punto non riesco più ad andare avanti perchè, nella risoluzione del libro, trovo la seguente soluzione (poi va avanti)
$Ay-Bxcos(alpha-beta)=+-B*sqrt(A^2-x^2)sin(alpha-beta) $
Potete aiutarmi per cortesia?

[Quinzio]

Se ho capito bene per ora ti interessa il caso $w = w_x = w_y$.
Vediamo
$\{( x=Acos(wt-a) ),( y=Bcos(wt-b) ):}$

$\{( x = A (e^{j(wt-a)}+e^{-j(wt-a)})/2 ),( y = B (e^{j(wt-b)}+e^{-j(wt-b)})/2):}$

$\{( 2x e^{j(wt-a)}= A e^{j2(wt-a)}+A ),( 2y e^{j(wt-b)}= B e^{j2(wt-a)}+B ):}$

$\{( A e^{j2(wt-a)}-2x e^{j(wt-a)} +A = 0),( B e^{j2(wt-a)}-2y e^{j(wt-b)}+B = 0 ):}$

$\{( e^{j(wt-a)} = (x \pm \sqrt(x^2-A^2))/(2A) ),( e^{j(wt-b)} = (y \pm \sqrt(y^2-B^2))/(2B) ):}$

$\{( e^{jwt} = e^(ja)(x \pm \sqrt(x^2-A^2))/(2A) ),( e^{jwt} = e^(jb)(y \pm \sqrt(y^2-B^2))/(2B) ):}$

$ e^(ja)(x \pm \sqrt(x^2-A^2))/(2A) = e^(jb)(y \pm \sqrt(y^2-B^2))/(2B) $

e da qui si potrebbe proseguire, ma la strada e' lunga a tortuosa.

[Shackle]

Non vorrei sbagliarmi, ma le curve che si ottengono componendo due moti armonici su assi ortogonali , con frequenze e ampiezze diverse , sono le "curve di Lissajous" , qui descritte . Da consultare anche i link seguenti :

http://www.mathcurve.com/courbes2d/liss ... jous.shtml

http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html

quando il rapporto tra le frequenze è razionale, le curve sono chiuse . SE il rapporto è uguale a 1 , si dovrebbe avere una ellisse .

S.E.O.

[Vulplasir]

È un esercizio classico, sono le curve di Lissajous

[Sossella]

Vi ringrazio ragazzi, siete stati molto chiari!