Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda lupin1942 » 23/10/2018, 08:38

Il limite per x tendente a 0 di $(sin x - x)/x^3$ è immediato se calcolato utilizzando gli sviluppi di Taylor o il teorema di De L'Hopital.

Qualcuno ha dei suggerimenti su come calcolarlo senza utilizzare questi strumenti e, più in generale, senza utilizzare le derivate?
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda Raptorista » 23/10/2018, 08:43

Spezza la frazione in somma di due frazioni.
Un matematico ha scritto:... come mia nonna che vuole da anni il sistema per vincere al lotto e crede che io, in quanto matematico, sia fallito perché non glielo trovo


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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda dissonance » 23/10/2018, 11:17

Raptorista ha scritto:Spezza la frazione in somma di due frazioni.

E così ottieni una bella forma indeterminata \(\infty-\infty\). Ci vuole la formula di Taylor per calcolare quel limite, non vedo proprio come fare altrimenti, né perché.
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda Raptorista » 23/10/2018, 20:43

Ah già, che idiota che sono xD
Scusa, chissà cosa ho letto! Nella mia mente veniva 0-0 ahhahahahaha
Un matematico ha scritto:... come mia nonna che vuole da anni il sistema per vincere al lotto e crede che io, in quanto matematico, sia fallito perché non glielo trovo


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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda orsoulx » 24/10/2018, 08:33

Mi pare di aver già visto il procedimento proprio in questo forum, ma non trovo la relativa discussione.

$ L=lim_{x->0} (sinx-x)/x^3= lim_{x->0} (sinx-sinxcosx)/x^3+lim_{x->0} (sinxcosx-x)/x^3=$

$=1/2+lim_{x->0} (1/2sin(2x)-1/2(2x))/(1/8(2x)^3)=1/2+4lim_{2x->0} (sin(2x)-(2x))/((2x)^3)=1/2+4L$

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda Palliit » 24/10/2018, 10:01

@orsoulx: molto carina, anche se a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito, in itinere, che l'oggetto che si vuol calcolare sia finito. Voglio dire: il procedimento funziona se parti dal presupposto, non ovvio, che $L$ sia finito. Tempo fa, in questa discussione, un utente mise questo link proprio sul limite in questione.
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda orsoulx » 24/10/2018, 11:07

Palliit ha scritto: a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito...
condividendo i tuoi sospetti non ho scritto il risultato ;-).
Ciao e grazie per i link.
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda dissonance » 24/10/2018, 11:10

@orsoulx: È ingegnoso. Però, con questo stesso procedimento, si può dimostrare anche che, detto
\[
L=\lim_{x\to \infty} \cos x, \]
si ha che L=1. Infatti,
\[
L^2=\lim_{x\to \infty} \cos^2 x=\lim_{x\to \infty} \left(\frac12 +\frac{\cos 2x}{2}\right)=\frac12+\frac{L}{2}, \]
quindi
\[
2L^2-L-1=0, \]
le cui soluzioni sono \(L=1\) e \(L=-\frac12\). Toh, se vogliamo, può fare pure \(-\frac12\). Facciamo che vale \(1\) nei giorni pari e \(-\frac12\) in quelli dispari. :-)
Ultima modifica di dissonance il 24/10/2018, 13:31, modificato 1 volta in totale.
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda Mathita » 24/10/2018, 12:41

Metto ot che è meglio

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
dissonance ha scritto:@orsoulx: È ingegnoso. Però, con questo stesso procedimento, si può dimostrare anche che
\[
L=\lim_{x\to \infty} \cos x = 1.\]
Infatti,
\[
L^2=\lim_{x\to \infty} \cos^2 x=\lim_{x\to \infty} \left(\frac12 +\frac{\cos 2x}{2}\right)=\frac12+\frac{L}{2}, \]
quindi
\[
2L^2-L-1=0, \]
le cui soluzioni sono \(L=1\) e \(L=-\frac12\). Toh, se vogliamo, può fare pure \(-\frac12\). Facciamo che vale \(1\) nei giorni pari e \(-\frac12\) in quelli dispari. :-)


Figo! In combinazione con il teorema della permanenza del segno e teorema di unicità, questo ragionamento consente di dimostrare che il coseno non ammette limite per $x\to +\infty$ senza tirare in ballo le successioni! (Solo non capisco perché supponi $L=1$ nel primo limite). RUBO!
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Re: Limite di (sin x -x)/x^3

Messaggioda dissonance » 24/10/2018, 13:27

Non suppongo L=1. Voglio dire: sia L il limite così e cosà, allora L=1. Ho messo ipotesi e tesi nella stessa equazione, in effetti non è il massimo.

Comunque, tutto ciò che il mio post dimostra è che, SE il limite esistesse, ALLORA dovrebbe essere uguale a 1 oppure a -1/2. Non dimostra che il limite non esiste.
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