Distanza tra rette

Messaggioda maxira » 08/11/2018, 18:52

"Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico:

(i) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana del piano per
i punti A(1; 1;-5); B(0;-1; 2) e C(1/3;-1/5;-1).

(ii) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana della retta r
per P(1; 1; 1) ortogonale al piano.

(iii) Stabilire la posizione reciproca e la distanza tra la retta r e la retta s: $ { ( x+y+2=0 ),( y-z=0 ):} $"




In ordine:

(i) calcolo il vettore direzionale v come differenza tra il punto A e il punto B: $ (1, 0, -7) $
Calcolo il vettore direzionale v' come differenza tra il punto C e il punto B: $ (1/3, 4/5, -3) $
Prendo B come punto di passaggio e ottengo:

$ pi :{ ( x=1/3t+s ),( y=-1+4/5t ),( z=2-3t-7s ):} $

Trasformo in cartesiana:

$ pi : 7x+13/12y+z+7/6=0 $

(ii) Considero il vettore (7, 13/12, 1) ortogonale al piano come vettore direzionale della retta r.

$ { ( x=1+7t ),( y=1+13/12t ),( z=1+t ):} $

In forma cartesiana:

$ { ( x-7z+6=0 ),( 12y-13z+1=0 ):} $

(iii) Deduco la posizione reciproca delle rette a partire dalle matrici dei coefficienti:

$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , -7 ),( 0 , 12 , - 13 ) ) $ è la matrice incompleta e ha rango 3.

$ ( ( 1 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -7 , -6 ),( 0 , 12 , -13 , -1 ) ) $ è la matrice completa e ha rango 4.

Poiché la matrice completa ha rango maggiore della matrice incompleta, le due rette sono sghembe.

Per calcolare la distanza tra due rette sghembe, trovo un piano passante per s che sia parallelo ad r, prendo un punto passante per r e calcolo la distanza tra quel punto e il piano.

Affinché il piano sia parallelo ad r, impongo che $ n = (1, 0, -7) $ , vettore normale ad r, sia normale anche al piano:

$ pi ' : x-7z+k= 0 $

Il piano deve passare per un punto di s, ad esempio (-2, 1, 1):

$ -2-7(1)+k= 0 $
$ k=9 $

L'equazione del piano è $ pi ' : x-7z+9=0 $

Prendo il punto $ P (-6, -1/12, 0) $ passante per r. La distanza punto-piano è:

$ (|ax_0+by_0+cz_0+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))=(|-6+9|)/(sqrt9)=3/3=1 $
maxira
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Re: Distanza tra rette

Messaggioda Bokonon » 08/11/2018, 20:48

maxira ha scritto:(i) calcolo il vettore direzionale v come differenza tra il punto A e il punto B: $ (1, 0, -7) $

Ed è sbagliato, viene (1,2,-7)
maxira ha scritto:Calcolo il vettore direzionale v' come differenza tra il punto A e il punto C: $ (2/3, 6/5, -4) $

Questo è giusto....ma nei casi in cui non ti interessano ne la direzione ne la magnitudine di un vettore (come in questo caso :D ), semplificati la vita ed elimina le frazioni moltiplicando il vettore per 15/2....ed ottieni (5,9,-30) che è decisamente più managgevole :smt023

A questo punto puoi scrivere la forma parametrica del piano...ma per quella cartesiana, invece di risolvere il sistemone, perchè non approfitti del fatto che siamo in $R^3$? Un piano è definito dal vettore perpendicolare a tutti i vettori che gli appartengono + un punto di passaggio. In $R^3$ se fai il prodotto vettoriale fra due vettori linearmente indipendenti ottieni per forza il terzo vettore perpendicolare ad entrambi (3,-5,-1). Quindi 3x-5y-z=d.
Sostituisci un punto, magari il B che è facile, ed ottieni anche d.

Insomma, quando puoi, prova a semplificarti la vita e i calcoli...eviterai più facilmente gli errori.

P.S. Altra cosa da fare, specie agli esami scritti, è verificare i conti. Se tu avessi sostituito uno dei punti a $ pi : 7x+13/12y+z+7/6=0 $ ti saresti accorto di aver commesso un errore da qualche parte.
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Re: Distanza tra rette

Messaggioda maxira » 08/11/2018, 22:37

Bokonon ha scritto:Ed è sbagliato, viene (1,2,-7)

Scusami, avrei dovuto scrivere "differenza tra B ed A".

Bokonon ha scritto:ma per quella cartesiana, invece di risolvere il sistemone, perchè non approfitti del fatto che siamo in R3? Un piano è definito dal vettore perpendicolare a tutti i vettori che gli appartengono + un punto di passaggio. In R3 se fai il prodotto vettoriale fra due vettori linearmente indipendenti ottieni per forza il terzo vettore perpendicolare ad entrambi (3,-5,-1). Quindi 3x-5y-z=d.
Sostituisci un punto, magari il B che è facile, ed ottieni anche d.

Quindi, considerando i vettori direzionali $ (1, 2, -7), (1/3, 4/5, -3) $, o meglio $ (1, 2, -7), (5, 12, -35) $, calcolo il prodotto vettoriale $ v=(-14, 0, -2) $ e ricavo il piano $ -14x-2z+k=0 $

Prendo B come punto di passaggio: $ -2(2)+k=0 $ ---> $ k=4 $

L'equazione del piano è $ -14x-2z+4=0 $.
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Re: Distanza tra rette

Messaggioda Bokonon » 08/11/2018, 23:52

maxira ha scritto:
Bokonon ha scritto:Ed è sbagliato, viene (1,2,-7)

Scusami, avrei dovuto scrivere "differenza tra B ed A".


Sarebbero cambiati solo i segni...non l'errore :)

maxira ha scritto:Quindi, considerando i vettori direzionali $ (1, 2, -7), (1/3, 4/5, -3) $,

Era (2/3, 6/5, -4)...l'avevi scritto giusto e te l'ho pure detto!
maxira ha scritto: o meglio $ (1, 2, -7), (5, 12, -35)$

Il vettore semplificato è (5,9,-30)


E non hai nemmeno controllato il piano che hai ottenuto, altrimenti te ne saresti accorto....
Il piano è $3x-5y-z-3=0$

Prova ad inserire i punti....


P.S. Adesso ho capito, hai cambiato vettore...stavolta hai fatto C-B, ma sei comunque riuscito a sbagliare i conti successivi :)
Se lo moltiplichi per 15 diventa (5,12,-45)
P.S.2 E se fai il prodotto vettoriale fra (1, 2, -7) e (5, 12, -45), ti viene (-6,10,2) che puoi semplificare in (3,-5,-1) (moltiplicandolo per -1/2)
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Re: Distanza tra rette

Messaggioda maxira » 09/11/2018, 08:34

Bokonon ha scritto:
Sarebbero cambiati solo i segni...non l'errore :)


Non sto capendo più niente ahah
A-B = (1, 2 -7)
Non so perché ma continuava ad uscirmi (1, 0, -7) e ho pensato che avessi calcolato B-A cambiato di segno.

Bokonon ha scritto:Era (2/3, 6/5, -4)...l'avevi scritto giusto e te l'ho pure detto!


Scusa, è che non ho capito proprio da dove esce questo (2/3, 6/5, -4).

I vettori che ho calcolato io sono A-B (quello che continuavo a sbagliare) = $ (1, 2, -7) $
e
C-B = $ (1/3, 4/5, -3) = (5, 12, -45) $

Bokonon ha scritto:P.S. Adesso ho capito, hai cambiato vettore...stavolta hai fatto C-B

Ho sempre usato C-B (?)

Facciamo così:

1) usando A-B (1, 2, -7) e (2/3, 6/5, -4), o meglio (1, 2 -7) e (5, 9, -30), ottengo il prodotto vettoriale (3, -5, -1) e il piano $ 3x-5y-z+k=0 $
Per avere k, sostituisco il punto A e ottengo $ k = -3 $
Il piano ha equazione $ 3x -5y-z-3=0 $

2) usando A-B (1, 2, -7) e C-B (5, 12, -45), ottengo il prodotto vettoriale (-6, 10, 2) che semplifico il (3, -5, -1) e il piano $ 3x-5y-z+k=0 $.
Per avere k, sostituisco B e ottengo $ 3(0)-5(-1)-(2) + k = 0 $, cioè $ k = -3 $.
Anche qui l'equazione del piano è $ 3x-5y-z-3 = 0 $.
Provo a sostituire tutti i punti e l'equazione risulta verificata.
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Re: Distanza tra rette

Messaggioda Bokonon » 09/11/2018, 16:06

:smt023
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