La categoria \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) ha per oggetti le frecce di \(\mathbf{C} \) e come frecce tra $f$ e \(f' \) le coppie \(g=(g_1,g_2) \) tali che \(\displaystyle g_2\circ f=f'\circ g_1 \). Ho una domanda sui funtori di questa categoria: il testo si limita a dirmi che ne possiede due, e mi fa vedere \[\displaystyle \mathbf{C}\stackrel{\mathbf{dom}}{\longleftarrow}\mathbf{C^\rightarrow}\stackrel{\mathbf{cod}}{\longrightarrow}\mathbf{C}. \] La mia domanda: cosa sono di preciso questi due funtori? Dalla mia interpretazione, \(\mathbf{dom} \) associa a ogni oggetto \(\displaystyle f:A\to B \) di \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) il suo dominio \(A \) in \(\mathbf{C} \), e viceversa \(\mathbf{cod} \) vi associa il codominio $B$ in \(\mathbf{C} \). E' corretto?
Poi: una categoria slice - in italiano, si traduce in qualche modo? cercando su Internet non trovo nulla - di \(\mathbf{C} \) sull'oggetto $C$ ha come oggetti le frecce che puntano in $C$, e come freccie le \(g:(f:X\to C)\to(f':X'\to C) \) tali che \(f'\circ g=f \).
Le mie considerazioni: l'identità \(1_f \) di un oggetto \(f \) è data da \(1_X \); la composizione di due frecce \(g:f\to f'\), \(h:f'\to f''\) è data da \(h\circ g:X\to X''\) tale che \(f''\circ(h\circ g)=f \). E' giusto "bypassare" la freccia intermedia \(f'\)? (Tra parentesi: vorrei imparare a disegnare i diagrammi con \(\TeX \), ma i metodi che ho trovato online non funzionano su questo forum (o almeno io non sono in grado di farli funzionare); qualcuno ha un link a una guida veloce con qualche esempio?).
Definito il funtore \(U: \mathbf{C}/C\to \mathbf{C} \) che si dimentica dell'oggetto $C$, mi si chiede di trovare un funtore \(F:\mathbf{C}/C\to\mathbf{C}^\rightarrow \) tale che \(\mathbf{dom}\circ F=U\). Però ho dei problemi a farlo. So che un funtore manda oggetti in oggetti: gli oggetti della categoria slice sono le frecce di \(\mathbf{C} \) con un certo codominio, gli oggetti della categoria freccia sono tutte le frecce di \(\mathbf{C} \). Quindi il funtore non è "suriettivo" (si può parlare di suriettività di un funtore?) e applicando \(\mathbf{dom} \) all'immagine ottengo come oggetti i domini di tutte le frecce che puntano a $C$, quindi non necessariamente tutti gli oggetti di \(\mathbf{C} \). E' un po' contorto, spero sia chiaro ciò che intendo!
Infine: è possibile definire il concetto duale di categoria slice, ovvero la categoria coslice \(C/\mathbf{C} \) con oggetti le frecce che partono da $C$. Mi si chiede tale categoria possa essere definita in termini di \(\mathbf{C}/C \); siccome gli oggetti della categoria coslice sono l'inversione delle frecce che sono gli oggetti della categoria slice, ho pensato di poter definire \(C/\mathbf{C}=\mathbf{C}^{op}/C \). Ha senso?