Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione

[antoninodegregorio]

Buona sera a tutti. Mi rivolgo a voi per sapere come si determina l'insieme di definizione della funzione:
f(x)= ln [sin (x/x+1)]
Non riesco proprio a venirne a capo. Grazie.

[Mephlip]

Dove hai problemi? Devi porre l'argomento del logaritmo strettamente positivo e devi imporre che non si annulli il denominatore all'interno del seno.

[antoninodegregorio]

Sì, questo è ovvio. Non so come risolvere la disequazione: sin (x/x+1) > 0. Secondo il mio ragionamento: 2k pigreco < (x/x+1) < pigreco + 2kpigreco. Qui mi fermo.

[Mephlip]

Non è ovvio, non sappiamo quale sia il tuo grado di preparazione; hai scritto nella sezione "analisi matematica di base" ma la domanda è più da "secondaria di II grado".
Fino a quel che hai scritto è corretto: dobbiamo ora risolvere un sistema, perché quella disequazione significa
\begin{cases} \frac{x}{x+1}>2k\pi \\ \frac{x}{x+1} <\pi+2k\pi \end{cases}

[axpgn]

Sì, questo è ovvio.

Beh, allora il problema non è "Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione" ma risolvere una disequazione trigonometrica

[antoninodegregorio]

Perché fare questo giro di parole, invece di risolvere il problema, che è sicuramente più interessante! Il quesito non mi sembra così banale da poter riguardare uno studente di scuola secondaria di secondo grado, tant'è che è tratto dal Giusti (eserciziario).

[Mephlip]

@antoninodegregorio: Quelli che chiami giri di parole servono anche a capire dove sono i tuoi dubbi e a risolverli in maniera mirata: se ti risolvessimo l'esercizio potrebbero non uscire dubbi che invece potresti chiarire ora e per sempre, dandoti poi una visione critica dello studio e un'indipendenza derivata da essa.

A testimonianza di ciò: abbiamo iniziato la discussione che il problema era determinare l'insieme di definizione, poi è uscito che in realtà il dubbio era risolvere una disequazione trigonometrica.

Sarà anche un esercizio del Giusti, che è un testo universitario, ma continuo a dire che lo può risolvere un sufficientemente zelante studente di quarta liceo; non sarà banale, ma non è neanche assurdo.

Ce lo fai questo tentativo di risoluzione (che tra l'altro è anche richiesto dal regolamento) almeno del sistema?

[antoninodegregorio]

Scrivere il ragionamento sviluppato su due pagine di quaderno mi viene difficile. Dunque pongo dei quesiti le cui risposte possono fungere da traccia per la risoluzione:
1. Il sistema deve essere risolto al variare del parametro k o ha delle soluzioni assolute, ossia indipendenti dallo stesso parametro?
2. La soluzione proposta dal libro è data dall'unione di più intervalli in uno dei quali è presente il parametro k, mentre in un altro il parametro h. Ciò mi fa pensare che bisogna tenere conto di un'altra condizione, oltre a quella espressa dal sistema, nella quale è presente il parametro h e che mi sfugge. Mi riservo al più presto di condividere la soluzione proposta dal libro.

[antoninodegregorio]

La soluzione del problema è la numero 18.

[axpgn]

L'insieme di definizione è composto da due "parti" che si trovano "facilmente" mentre le altre due sono "periodiche" (non mi viene un'altra parola) e dipendono da un intero; il fatto di indicarlo con due lettere diverse è una sottigliezza …

Cordialmente, Alex