Ho dei dubbi su una disuguaglianza che non dovrebbe richiedere nessuna tecnica particolare ma di cui non sono per niente convinto. Cerco di essere il più chiaro possibile.
Siano
\[
p>1 \quad d\ge 1\quad n\in Z_+ \quad c>0
\]
Allora esiste $C_1$ dipendente al più da $d$ (e direi forse da c) tale che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
(Addirittura la disuguaglianza potrebbe essere una uguaglianza).
Vi dico cosa ho fatto:
Dato che (considerando i dati iniziali)
\[
1+2^{n+1}\le 2^{n+2} \quad\quad\quad \text{e} \quad\quad\quad \frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1}\le \left(\frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e che le due frazioni dentro la parentesona di base sono maggiori di 1 si ha che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le c\left[2^{n+2} \left(\frac{d}{d-2}\right)^n\right]^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} =
c(2^2)^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^2\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} \le c_0 \left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}
\]
con $c_0$ dipendente da $d$.
Ora però se faccio l'ultimo passaggio per ottenere la tesi mi esce una dipendenza da $n$ della costante e questo non mi va bene.
CIoè dovrei trovare $C_1$ tale che
\[
c_0\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
ma chiaramente, in generale, non è possibile.