mgrau ha scritto:Shackle ha scritto:Non c'è bisogno di fare tutto questo, per trovare il momento di inerzia. Il momento di inerzia di una lamina quadrata , rispetto a qualunque retta r complanare alla lamina e passante per il centro C , vale :
$I_r = ML^2/(12)$
Bello, ma bisogna saperlo...
Il momento di inerzia di area di un rettangolo , di base $L$ e altezza $B$ , rispetto a un asse $x$ baricentrico parallelo a $L$ vale :
$I_x = (LB^3)/12 = A*B^2/12$ , dove $A$ è l'area; ma può essere benissimo la massa, se la lamina è omogenea e se stiamo parlando di momento di inerzia di massa. Se prendiamo un asse $y$ baricentrico perpendicolare a $x$ , si ha :
$I_y = (BL^3)/12 = A*L^2/12$
In un quadrato , $L = B$ . I due momenti centrali di inerzia $I_x$ e $I_y$ nel quadrato sono quindi uguali. E se sono uguali loro, sono uguali tutti i momenti di inerzia, rispetto a qualunque retta $r$ complanare passante per C: si dimostra valutando come varia il momento di inerzia , rispetto a un asse complanare $r$ passante per C , facendo variare l'angolo $alpha$ che $r$ forma con $x$ . Questo si trova in tutte le dispense che trattano di geometria delle masse. Quanto detto per il quadrato vale per sistemi piani in generale.
Shackle ha scritto:basta considerare la simmetria per rotazione di 90º del quadrato nel suo piano.
Qui non capisco: in che modo dalla simmetria deriva questo?
Se ruoti il quadrato di 90º , gli assi x ed y centrali si scambiano tra loro , no ? Quindi , come già detto sopra : $I_x=I_y$ . per disegnare un'ellisse di inerzia, relativa a un certo punto, basta conoscere due momenti principali rispetto ad assi passanti per il punto e tra loro perpendicolari : dai momenti si passa agli assi della conica di inerzia.
Cfr par. 1.10 e 1.15 di
questa dispensa .
il quadrato non è l'unica figura piana che gode di certe proprietà.
Ho messo una nota a bella posta , prima . Se un'ellisse ha i due assi uguali , è una circonferenza. Tracciata una retta per il centro , il semiasse intercettato sulla conica determina il raggio di inerzia e quindi il momento di inerzia . Se la conica è una circonferenza....
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.