Ipotesi del criterio di Leibniz

[AnalisiZero]

Ciao

Studiando le ipotesi del criterio di Leibniz sulle serie numeriche di segno alterno mi è venuto un dubbio.

Supponiamo di avere una serie $sum_{n=0}^{+infty}(-1)^n*a_n$ con $a_n>=0$
Se ho che è verificata la prima ipotesi di decrescenza di $a_n$, allora la seconda ipotesi ($a_n$ infinitesima) diventa una condizione anche necessaria per la convergenza, o sbaglio? Nel senso, se in questo specifico caso la seconda ipotesi non è verificata posso dire che la serie non converge?

[dissonance]

Non sbagli. Infatti, \((-1)^na_n\to 0\) se e solo se \(a_n\to 0\), come hai notato.

[gugo82]

Il fatto che $|a_n| -> 0$ è sempre necessario alla convergenza di una serie; qui, casomai, la novità è che la condizione $|a_n| -> 0$ diventa (se accoppiata alla monotònia di $(a_n)$) anche sufficiente alla convergenza.

[AnalisiZero]

Poi un altro dubbio:

Se $a_n$ è definitivamente positiva, ed è infinitesima, ciò non dovrebbe implicare che è definitivamente decrescente? Allora l'ipotesi di decrescenza del criterio risulterebbe superflua.

[dissonance]

Eh no;
\[
\left(\frac{\sin n}{n}\right)^2\]
è una successione positiva, infinitesima e non decrescente, neanche definitivamente.

[AnalisiZero]

Grazie. Come ultima cosa vorrei convincermi del fatto che la decrescenza è solo sufficiente, quindi non necessaria. Io mi immagino la successione delle somme parziali in un grafico (analogo a quello per le funzioni), e non vedo come possa convergere se i "salti" non si "riducono" in modulo.

[gugo82]

Usa come addendi la successione suggerita da dissonance.

[dissonance]

Un esempio ancora più estremo:
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left(1, 0, \frac12, 0, \frac13, 0, \frac14, 0, \frac15, 0,\ldots\right).\]
Questa successione è non-negativa e non è decrescente. Se formiamo la somma alternata
\[
S=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n, \]
otteniamo
\[S=-1+0-\frac12+0-\frac13+0-\frac14+0-\ldots,\]
ovvero
\[
S=-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=-\infty.\]
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COMMENTO MIO: (non lo considerare se ti fa confondere) se fai un teorema con le serie a segni alterni, è chiaro che ci deve essere una ipotesi sulla decrescenza di \(a_n\). Altrimenti non hai nulla che ti permetta di comparare la parte positiva e la parte negativa della somma parziale \(S_N\), ed è proprio quello il punto fondamentale della dimostrazione del criterio di Leibniz.