Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Un disco piano ed omogeneo di raggio \(\displaystyle R=3m \) e massa \(\displaystyle M=100kg \) ruota senza attrito in un piano orizzontale, con velocità angolare pari a \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) , attorno ad un asse passante per il centro O. Un uomo di massa \(\displaystyle m=60kg \) salta sul bordo del disco, in posizione A, senza scivolare. Successivamente inizia a camminare, senza scivolare, verso il centro O. Calcolare:
a) la velocità \(\displaystyle \omega \) del disco quando l' uomo si trova in A;
b) il lavoro W compiuto dall'uomo per raggiungere il centro O".
Risoluzione
a) Ho già visto qualche esercizio simile, per cui ho subito immaginato dove il problema volesse andare a parare. Il disco ruota con velocità iniziale \(\displaystyle \omega_0=0.2rad/s \) e l'asse di rotazione è proprio l'asse di simmetria per il disco, passante dunque per il suo centro di massa. Vale allora:
\(\displaystyle L = I_z \omega \) come legge generale. Ho immaginato di applicare il principio di conservazione del momento angolare, tale che la suddetta legge si riscriva nella forma \(\displaystyle L = I_z \omega = cost \) ma una cosa non mi quadra: per poter applicare questo principio i momenti delle forze esterne devono essere nulli, tale che la derivata temporale del momento angolare totale del sistema sia anch'essa nulla.
L'esempio a cui facevo riferimento prima era il caso di una giostra, con due bambini posti esattamente agli estremi di un'asta rigida in rotazione intorno al proprio asse di simmetria. I bambini avevano la stessa massa, dunque scegliendo come polo per il calcolo dei momenti il centro di massa dell'asta, la forza peso dell'asta aveva momento nullo, mentre i momenti delle forze peso esercitate dai due ragazzini si annullano a vicenda (dico bene?). Di conseguenza, ecco che i momenti delle forze esterne sono nulli e pertanto il momento angolare si conserva.
Tornando al nostro disco in rotazione, quando l'uomo sale sul bordo A del disco, tra il CM del disco e l'uomo c'è una certa distanza, pari al raggio R del disco. Scegliendo il centro di massa come polo per calcolare i momenti, la forza peso del disco avrà momento nullo. Ma la forza peso dell'uomo non avrà un momento diverso da zero?
In teoria, per l'uomo, si dovrebbe avere:
\(\displaystyle M = Rmgsin(90°) \) essendo perpendicolari i vettori R ed mg. Dove sbaglio?